[논문 리뷰] Affine Hecke algebras and the conjectures of Hiraga, Ichino and Ikeda

Eric Opdam|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 26.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 47인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 연결된 재구성된 $p$-진 군에서 유니포텐트 감소를 갖는 강한 표현에 대한 플랑처렐 조밀도에 대한 히라가, 이치노, 이케다의 추측을 증명한다. 이는 분해형 전이 지도와 루스티그의 분류를 통해, $L$-함수와 $\boldsymbol{\epsilon}$-요소를 이용한 형식적 차수 공식을 수립함으로써, 일반적인 재구성된 군에 대해 합리적 상수를 제외하고 추측을 확인한다.

ABSTRACT

Hiraga, Ichino and Ikeda have conjectured an explicit expression for the Plancherel density of the group of points of a reductive group defined over a local field $F$, in terms of local Langlands parameters. In these lectures we shall present a proof of these conjectures for Lusztig's class of representations of unipotent reduction if $F$ is $p$-adic and $G$ is of adjoint type and splits over an unramified extension of $F$. This is based on the author's paper [Spectral transfer morphisms for unipotent affine Hecke algebras, Selecta Math. (N.S.) 22 (2016), no. 4, 2143--2207]. More generally for $G$ connected reductive (still assumed to be split over an unramified extension of $F$), we shall show that the requirement of compatibility with the conjectures of Hiraga, Ichino and Ikeda essentially determines the Langlands parameterisation for tempered representations of unipotent reduction. We shall show that there exist parameterisations for which the conjectures of Hiraga, Ichino and Ikeda hold up to rational constant factors. The main technical tool is that of spectral transfer maps between normalised affine Hecke algebras used in op. cit.

연구 동기 및 목표

• 이론적 조건이 아닌, 보다 일반적인 연결된 재구성된 $p$-진 군에 대해 히라가–이치노–이케다의 플랑처렐 조밀도 추측을 확장한다.
• 강한 표현의 랑글랜드 매개변수화가 추측과의 호환성에 의해 본질적으로 유일하게 결정됨을 보인다.
• 유니포텐트 감소를 갖는 표현에 대해 $L$-함수와 $\boldsymbol{\epsilon}$-요소를 이용한 추측된 형식적 차수 공식을 수립한다.
• 재구성된 군이 비분비 확장에 대해 분할되는 경우, 모든 강한 표현에 대해 추측이 합리적 상수 인자에 대해 성립함을 보여준다.

제안 방법

• 루스티그의 분류와 이와호리-마츠모토 dualit의를 통해 구성된 정규화된 애파인 헤케 대수 간의 스펙트럴 전이 지도(STM)를 사용한다.
• 유니포텐트 애파인 헤케 대수와 그의 베른스타인 중심 이론을 적용하여 플랑처렐 조밀도와 추적 함수형식을 분석한다.
• 애파인 헤케 대수에서의 스펙트럴 분해를 통해 유도된 형식적 차수 공식을 활용한다.
• 잔류 코스와 변형 기법을 사용하여 이산 계열 표현의 플랑처렐 조밀도 $d_{\boldsymbol{\mathcal{H}},\delta}$ 를 계산한다.
• 중앙 문자와 $\mathcal{S}$-군을 분석하여, 랑글랜드 매개변수화가 추측과 호환됨을 확립한다.
• 이소지니 $\eta: H \to G$ 에서의 STM의 등변성 특성을 활용하여 문제를 거의 직접적인 단순 및 아니소트로픽 군의 곱으로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연결된 재구성된 $p$-진 군에서 유니포텐트 감소를 갖는 모든 강한 표현에 대해 히라가–이치노–이케다의 플랑처렐 조밀도 추측이 성립하는가?
• RQ2 이러한 표현에 대해 추측된 형식적 차수 공식과의 호환성에 의해, 랑글랜드 매개변수화가 유일하게 결정되는가?
• RQ3 일반적인 재구성된 경우에 대해 추측이 합리적 상수 인자에 대해 어느 정도까지 성립하는가?
• RQ4 유니포텐트 애파인 헤케 대수 간의 스펙트럴 전이 지도가 추측의 증명을 어떻게 촉진하는가?
• RQ5 잔류 코스와 변형 기법은 이산 계열 표현의 플랑처렐 조밀도 계산에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 히라가, 이치노, 이케다의 추측은 비분비 확장에 대해 분할되는 연결된 재구성된 $p$-진 군에서 유니포텐트 감소를 갖는 모든 강한 표현에 대해 성립한다.
• 강한 표현 $\pi_\rho$ 의 형식적 차수는 $\textup{fdeg}(\pi_\rho) = \frac{\dim(\rho)}{|\mathcal{S}^\natural_\varphi|} |\gamma(0, \textup{Ad} \circ \varphi, \psi)|$ 로 주어지며, 합리적 상수 인자에 대해 성립한다.
• 유니포텐트 애파인 헤케 대수 간의 스펙트럴 전이 지도는 이소지니 군 간의 랑글랜드 매개변수화를 정규화된 방식으로 연결하여, 이소지니에 따른 추측의 일관성을 보장한다.
• 어드조인트 유형의 군에 대해서는 추측이 정확히 성립하며, 이는 기존 문헌의 결과를 확인한다.
• 스테이플러 유니포텐트 표현을 통한 STM의 구성은 매개변수화가 플랑처렐 조밀도와 중심 문자와 호환됨을 보장한다.
• 주요 결과인 정리 4.5.1은 일반적인 재구성된 군에서 $p$-진 체 위의 모든 유니포텐트 감소를 갖는 강한 표현에 대해 추측이 합리적 상수 인자에 대해 성립함을 수립한다.