[논문 리뷰] Affine Hecke algebras for Langlands parameters

Anne‐Marie Aubert, Ahmed Moussaoui외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 13.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 57인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진군에 대한 강화된 랭랜즈 매개변수의 베르너스타인 성분에 관련된 아핀 히케 대수를 구축하며, 그들의 기약 표현과 랭랜즈 매개변수 사이에 정규화된 전단사 관계를 확립한다. 온화하거나 제곱-integrable 표현들은 기대되는 매개변수 유형과 대응되며, 많은 군들에 대해서는 구성된 대수가 고전적 베르너스타인 블록의 히케 대수와 모리타 동치임을 보여주며, 루스티그의 유니포텐트 표현에 대한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

It is well-known that affine Hecke algebras are very useful to describe the smooth representations of any connected reductive p-adic group G, in terms of the supercuspidal representations of its Levi subgroups. The goal of this paper is to create a similar role for affine Hecke algebras on the Galois side of the local Langlands correspondence. To every Bernstein component of enhanced Langlands parameters for G we canonically associate an affine Hecke algebra (possibly extended with a finite R-group). We prove that the irreducible representations of this algebra are naturally in bijection with the members of the Bernstein component, and that the set of central characters of the algebra is naturally in bijection with the collection of cuspidal supports of these enhanced Langlands parameters. These bijections send tempered or (essentially) square-integrable representations to the expected kind of Langlands parameters. Furthermore we check that for many reductive p-adic groups, if a Bernstein component B for G corresponds to a Bernstein component B^\vee of enhanced Langlands parameters via the local Langlands correspondence, then the affine Hecke algebra that we associate to B^\vee is Morita equivalent with the Hecke algebra associated to B. This constitutes a generalization of Lusztig's work on unipotent representations. It might be useful to establish a local Langlands correspondence for more classes of irreducible smooth representations.

연구 동기 및 목표

• 랭랜즈 프로그램의 자동형성 측면에서 아핀 히케 대수의 역할을 강화된 랭랜즈 매개변수에 대해 갈루아 측면으로 확장한다.
• 강화된 랭랜즈 매개변수의 한 베르너스타인 성분에 속하는 매개변수와 새로운 아핀 히케 대수의 기약 표현 사이에 정규화된 대응 관계를 수립한다.
• 구성된 대수가 체계적 표현론적 성질(예: 온화성, 제곱-integrability)을 유지하는지 확인한다.
• 많은 $p$-진군들에 대해, 새로운 대수가 자동형성 측면의 해당 베르너스타인 블록에 대응하는 고전적 히케 대수와 모리타 동치임을 확인함으로써 국소 랭랜즈 상호관계를 분류학적으로 일반화한다.

제안 방법

• 각 강화된 랭랜즈 매개변수의 베르너스타인 성분 $\mathfrak{B}^\vee$에 대해, 저자들은 이중화된 그룹의 중심자와 함께 히케 대수를 구성한다. 이는 왜곡된 계수 히케 대수의 구성 방식을 사용한다.
• 구성은 매개변수 $\phi$ 가 관성군 $\mathbf{I}_F$ 에 제한된 중심자와 연결되며, 루트 체계 $R(J^\circ, T)$ 를 식별하여 웨일 군과 루트 자료를 정의한다.
• 매개변수 $\lambda(\alpha)$ 와 $\lambda^*(\alpha)$ 는 $\phi$ 의 성분들의 $t$-인variants 를 사용하여 정의되며, 이는 히케 대수의 구조 상수를 결정한다.
• 매개변수 $\vec{\mathbf{z}} = q_F^{1/2}$ 로 특수화함으로써, 각 단순 반사에 대해 $(N_{s_\alpha} - q_F^{a})(N_{s_\alpha} + q_F^{-a}) = 0$ 의 이차 관계를 얻는다.
• 저자들은 카즈단–루스티그 매개변수화를 사용하여, 얻어진 표현들이 알려진 분류 결과와 비교됨을 확인한다.
• 특히 $\mathrm{GL}_n(F)$, $\mathrm{SL}_n(F)$, 그리고 고전군들에 대해서, 구성된 대수와 고전적 히케 대수 $\mathcal{H}(\mathcal{G}(F))^\mathfrak{s}$ 사이의 모리타 동치를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강화된 랭랜즈 매개변수의 각 베르너스타인 성분에 대해, 그 기약 표현이 해당 성분의 매개변수와 전단사 관계를 가지는 정규화된 아핀 히케 대수를 부여할 수 있는가?
• RQ2 해당 대응 관계는 표현의 성격을 유지하는가? 예를 들어, 온화하거나 제곱-integrable 매개변수는 대수의 온화하거나 제곱-integrable 표현과 대응되는가?
• RQ3 구성된 아핀 히케 대수는 자동형성 측면의 해당 베르너스타인 블록에 대응하는 고전적 히케 대수와 모리타 동치인가?
• RQ4 이 구성은 루스티그의 유니포텐트 표현에 대한 결과를 더 넓은 범위의 $p$-진군으로 일반화할 수 있는가?
• RQ5 히케 대수의 대수적 구조는 랭랜즈 매개변수의 기하학적·산술적 자료(예: $t$-인variants, 루트 체계)를 반영하는가?

주요 결과

• 구성된 아핀 히케 대수의 기약 표현들은 강화된 랭랜즈 매개변수의 베르너스타인 성분에 속하는 원소들과 자연스럽게 전단사 관계를 맺는다.
• 이 대수의 중심 문자들의 집합은 강화된 랭랜즈 매개변수의 쿠스피달 서포트와 자연스럽게 전단사 관계를 맺는다.
• 이 대수의 온화하거나 (기본적으로) 제곱-integrable 표현들은 정확히 온화하거나 (기본적으로) 제곱-integrable 랭랜즈 매개변수와 대응된다.
• $\mathrm{GL}_n(F)$, $\mathrm{SL}_n(F)$, 그리고 고전군의 순수 내부 변형에 대해서는, 구성된 대수가 해당 베르너스타인 블록에 대응하는 고전적 히케 대수와 모리타 동치이다.
• $\mathcal{G} = \mathrm{GL}_4(F)^2 \times \mathrm{GL}_1(F)^3 \times \mathrm{SO}_{37}(F)$ 의 예시에서, 대수는 이차 관계 $(N_{s_{\alpha_1}} - q_F^2)(N_{s_{\alpha_1}} + q_F^{-2}) = 0$, $(N_{s_{\alpha_2}} - q_F^3)(N_{s_{\alpha_2}} + q_F^{-3}) = 0$ 와 유사한 관계를 가지며, 지수는 $t$-인variants 와 $a$-매개변수에 의해 결정된다.
• 예시에서 $R$-군은 자명하므로 $W_{\mathfrak{s}^\vee} = W_{\mathfrak{s}}^\circ$ 이며, 웨일 군은 $W_{B_2} \times W_{B_3}$ 이다.