[논문 리뷰] Affine Schubert calculus and double coinvariants

Erik Carlsson, Alexei Oblomkov|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 27.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 32인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 A형 애질리프 레인지의 등급화된 보렐-무어 호몰로지 위에 이중 코인variants 대수 $DR_n$의 작용을 구축하며, 이 작용이 애질리프 스프링거 피브어의 호몰로지를 유지함을 보여준다. $n$의 조합에 따라 인덱싱된 $DR_n$의 필터레이션을 정의하며, 이 필터레이션의 부분상계는 슈베르트 클래스를 통해 단일 변수 코인variants 대수의 부분모듈과 동형이 되며, 헤글룬드-로엘러 공식을 일반화하는 명시적 모노미얼 기저를 제공하고, 이는 이중 등급 힐베르트 급수에 대한 독립적인 증명을 제공한다.

ABSTRACT

We define an action of the double coinvariant algebra $DR_n$ on the equivariant Borel-Moore homology of the affine flag variety $\widetilde{Fl}_n$ in type $A$, which has an explicit form in terms of the left and right action of the (extended) affine Weyl group and multiplication by Chern classes. Up to first order in the augmentation ideal, we show that it coincides with the action of the Cherednik algebra on the equivariant homology of the homogeneous affine Springer fiber $\widetilde{S}_{n,m} \subset \widetilde{Fl}_n$ due to Yun and the second author, and therefore preserves the non-equivariant Borel-Moore homology groups $H_*(\widetilde{S}_{n,m})\hookrightarrow H_*(\widetilde{Fl}_n)$. We then define a geometric filtration $F_{a} H_*(\widetilde{S}_{n,n+1})=H_*(\widetilde{S}(a))$ by closed subspaces $\widetilde{S}(a)\subset \widetilde{S}_{n,n+1}$, which we prove recovers the Garsia-Stanton descent order on $DR_n$. We use this to deduce an explicit monomial basis of $DR_n$, as well as an independent proof of the (non-compositional) Shuffle Theorem.

연구 동기 및 목표

• A형에서 애질리프 플래그 다양체 $\tilde{\mathcal{F}l}_n$의 등급화된 보렐-무어 호몰로지 위에 이중 코인variants 대수 $DR_n$의 기하적 작용을 정의한다.
• 이 작용이 애질리프 스프링거 피브어 $\tilde{\mathcal{S}}_{n,m}$의 호몰로지를 유지함을 보이며, 특히 $m = n+1$일 경우에 $H_*(\tilde{\mathcal{S}}_{n,n+1}) \cong DR_n$를 유도한다.
• $n$의 조합에 따라 인덱싱된 $\mathbb{Q}[\mathbf{x}]$-부분모듈을 갖는 $DR_n$의 필터레이션을 정의하며, 이 필터레이션의 주어진 항은 $y$-변수에 대한 가르시아-스타턴 내림차순 모노미얼로 주어진다.
• Goresky-Kottwitz-MacPherson의 슈베르트 클래스를 사용하여, 이 필터레이션의 부분상계를 단일 변수 코인variants 대수 $R_n(\mathbf{x})$의 부분모듈로 명시적으로 표현한다.
• 헤글룬드-로엘러 공식을 일반화하고 이중 등급 힐베르트 급수에 대한 독립적인 증명을 제공하는 $DR_n$의 명시적 모노미얼 기저를 구성한다.

제안 방법

• 변수 $x$에 대해 쌍대 체르니클 클래스 연산자와 변수 $y$에 대해 확장된 애질리프 바일 군의 좌우 작용을 통해 $DR_n$이 $H_*(\tilde{\mathcal{F}l}_n)$ 위에 작용함을 정의한다.
• 이 작용이 증강 아이디얼의 1차까지의 근사에서 체레드니크 대수의 작용과 일치함을 보여, 애질리프 스프링거 피브어의 호몰로지를 유지함을 보장한다.
• $\mathbb{Q}[\mathbf{x}]$-부분모듈로 생성되는 필터레이션 $F_a DR_n$을 정의하며, 여기서 $b \leq_{\text{des}} a$인 모노미얼 $y^b$를 기반으로 한다. 여기서 $\leq_{\text{des}}$는 내림차순 집합을 기반으로 하는 전순서이다.
• 부분상계 $F_a DR_n / F_{a-1} DR_n$는 조합 $a$에 따라 의존하는 명시적 생성자를 통해 $R_n(\mathbf{x})$의 부분모듈과 동형임을 식별한다. 이는 애질리프 스프링거 피브어의 슈베르트 클래스를 사용한다.
• Goresky-Kottwitz-MacPherson의 슈베르트 클래스 기술을 통해 $H_*(\tilde{\mathcal{S}}_{n,n+1})$에서의 부분상계와 $R_n(\mathbf{x})$의 해당 부분모듈 간의 동형을 확립하며, 이는 명시적 모노미얼 기저로 이어진다.
• 부분상계의 힐베르트 급수를 명시적으로 계산하여, $DR_n$의 이중 등급 힐베르트 급수에 대한 독립적인 증명을 얻으며, 이는 헤글룬드-로엘러 공식과 일치한다: $\sum_{\pi \in PF_n} q^{\operatorname{dinv}(\pi)} t^{\operatorname{area}(\pi)}$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 코인variants 대수 $DR_n$은 A형 애질리프 플래그 다양체의 등급화된 호몰로지 위에 어떻게 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 이 작용은 애질리프 스프링거 피브어 $\tilde{\mathcal{S}}_{n,m}$의 호몰로지를 유지하는가? 만약 그렇다면, $m = n+1$일 경우 그 구조는 어떠한가?
• RQ3 $DR_n$에 대해 조합에 따라 인덱싱된 필터레이션을 정의할 수 있는가? 이 필터레이션의 부분상계는 단일 변수 코인variants 대수 $R_n(\mathbf{x})$의 부분모듈과 동형이 되며, 슈베르트 클래스는 이 구성에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 헤글룬드-로엘러 공식을 일반화하는 $DR_n$의 모노미얼 기저는 존재하는가? 이는 이전 결과에 의존하지 않는가?
• RQ5 $DR_n$의 $y$-변수에 대한 등급은 애질리프 스프링거 피브어에서 히카타의 통계와 어떻게 관련되어 있으며, 이를 명시적으로 밝힐 수 있는가?

주요 결과

• 이중 코인variants 대수 $DR_n$은 A형 애질리프 플래그 다양체 $\tilde{\mathcal{F}l}_n$의 등급화된 보렐-무어 호몰로지 위에 작용하며, 이 작용은 모든 $m$에 대해 애질리프 스프링거 피브어 $\tilde{\mathcal{S}}_{n,m}$의 호몰로지를 유지한다.
• $m = n+1$일 경우, 이 작용은 기본류 $[\tilde{\mathcal{S}}_{n,n+1}]$에 $DR_n$의 원소를 작용시킴으로써 $H_*(\tilde{\mathcal{S}}_{n,n+1}) \cong DR_n$를 유도한다.
• $n$의 조합 $a$에 따라 인덱싱된 $\mathbb{Q}[\mathbf{x}]$-부분모듈로 구성된 필터레이션 $F_a DR_n$이 정의되며, 주어진 항은 가르시아-스타턴 내림차순 모노미얼 $g_\tau(y)$로 주어진다. 이는 단일 코인variants 대수 $R_n(\mathbf{y})$의 기저로 알려져 있다.
• 부분상계 $F_a DR_n / F_{a-1} DR_n$는 조합 $a$에 따라 의존하는 명시적 생성자를 갖는다. 이는 $R_n(\mathbf{x})$의 특정 부분모듈과 동형이며, 이 부분모듈은 $x$-변수에 대한 명시적 모노미얼 기저를 갖는다.
• 부분상계의 힐베르트 급수를 명시적으로 계산하였으며, 이는 $DR_n$의 이중 등급 힐베르트 급수에 대한 독립적인 증명을 제공한다. 이는 헤글룬드-로엘러 공식을 확인한다: $\sum_{\pi \in PF_n} q^{\operatorname{dinv}(\pi)} t^{\operatorname{area}(\pi)}$.
• 이 구성은 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다. 즉, $DR_n$의 $y$-변수 등급이 애질리프 스프링거 피브어에서 히카타의 통계와 어떻게 관련되어 있는지 명시적으로 밝혀내며, $y$-등급이 슈베르트-스프링거 클래스 분해에서 호몰로지 등급과 정확히 일치함을 보여준다.