[논문 리뷰] Algebraic structures associated to operads

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 17.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 31인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 작용소의 구성 방식을 통해 pre-Lie 대수, 브레이스 대수, 병렬 대수, 호프 대수와 같은 대수적 구조를 연결하는 포괄적인 프레임워크를 수립한다. 어떤 작용소 P도 그의 코인variant 몫 위에 pre-Lie 대수를 유도함으로써, 이에 대한 환위 대수와 특성의 모노이드를 도출한다; 만약 P가 b∞ 작용소로부터의 사상이 존재한다면, 이는 상호작용하는 병렬 대수를 추가로 유도하며, 파인먼 그래프, 순서 집합, 방향 그래프에서 알려진 예들을 하나의 작용소적 구성에 통합한다.

ABSTRACT

We study different algebraic structures associated to an operad and their relations: to any operad $\mathbf{P}$ is attached a bialgebra,the monoid of characters of this bialgebra, the underlying pre-Lie algebra and its enveloping algebra; all of them can be explicitely describedwith the help of the operadic composition. non-commutative versions are also given. We denote by $\mathbf{b\_\infty}$ the operad of $\mathbf{b\_\infty}$ algebras, describing all Hopf algebra structures on a symmetric coalgebra.If there exists an operad morphism from $\mathbf{b\_\infty}$ to $\mathbf{P}$, a pair $(A,B)$ of cointeracting bialgebras is also constructed, that it to say:$B$ is a bialgebra, and $A$ is a graded Hopf algebra in the category of $B$-comodules. Most examples of such pairs (on oriented graphs, posets$\ldots$) known in the literature are shown to be obtained from an operad; colored versions of these examples andother ones, based on Feynman graphs, are introduced and compared.

연구 동기 및 목표

• 모든 작용소를 이용해 작용소적 구성 방식을 통해 pre-Lie, 브레이스, 병렬 대수, 호프 대수 등의 대수적 구조를 체계적으로 유도하는 것.
• 다양한 조합적 호프 대수(예: 파인먼 그래프, 순서 집합, 방향 그래프에서 유도된 것들)를 하나의 작용소적 프레임워크 아래 통합하는 것.
• b∞ 작용소에서 P로의 작용소 사상이 상호작용하는 병렬 대수를 유도함으로써 양자장 이론과 조합론에서 알려진 구성들을 일반화하는 것.
• 지수 함수와 환위 대수를 통한 특성의 모노이드와 그 작용을 명시적으로 실현하는 것.

제안 방법

• 작용소 P의 코인variant 몫 위에서 부분 작용소적 구성에 의한 pre-Lie 곱을 정의한다: p • q = ∑ᵢ p∘ᵢ q, 여기서 p ∈ P(n), q ∈ P.
• ∏ₙ≥₀ P(n) 위의 두 모노이드 ◊ 및 ◊′을 반복적인 작용소적 구성에 의해 구성하며, 이 둘 사이의 동형사상을 확립한다.
• 귀인-우돔 구성은 대칭 대수 S(P)에 덴드라이포름 및 호프 대수적 구조를 부여하며, 이를 통해 호프 대수 D_P를 도출한다.
• pre-Lie 대수 coinv P의 환위 대수는 D_P로 명시적으로 실현되며, S(P)에서 D_P로의 자연스러운 전성사상이 존재한다.
• b∞ → P로의 사상 θ_P가 존재하는 작용소 P에 대해, 이 구성은 (A_P, D_P)라는 상호작용하는 병렬 대수의 쌍을 유도하며, 여기서 A_P는 D_P-코모듈의 범주 안의 호프 대수이다.
• D_P*의 특성의 모노이드는 A_P*의 특성의 군에 작용하며, 자유 P-대수 위에서 항등사상에 접하는 형식적 미분형사의 군과 동형이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 작용소의 작용소적 구성 방식을 통해 pre-Lie 및 브레이스 대수와 같은 대수적 구조를 체계적으로 도출할 수 있는가?
• RQ2 작용소에 관련된 병렬 대수의 특성의 모노이드와 그 환위 대수의 특성의 군 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 어떤 조건에서 작용소 P가 상호작용하는 병렬 대수의 쌍을 유도하며, 이는 양자장 이론에서 알려진 구성들을 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 b∞ → P로의 작용소 사상은 자유 P-대수 위의 대칭 대수 및 텐서 대수 위에 호프 대수적 구조를 어떻게 유도하는가?
• RQ5 b∞ 작용소는 대칭 코알제브라 위의 모든 가능한 호프 대수적 구조를 분류하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 작용소 P에 대해 코인variant 몫 coinv P는 부분 작용소적 구성에 의해 pre-Lie 대수적 구조를 유산한다. 곱은 p • q = ∑ᵢ p∘ᵢ q로 정의된다.
• 모노이드 (P, ◊)와 (P, ◊′)는 서로 동형이며, 이들의 코인variant 관계에 대한 몫은 coinv P 위에 모노이드 구조를 부여한다.
• 대칭 대수 S(P)는 귀인-우돔 구성에 의해 호프 대수적 구조를 지닌다. 여기서 곱 *는 반복적인 작용소적 구성에 의해 명시적으로 정의된다.
• 호프 대수 D_P는 pre-Lie 대수 coinv P의 환위 대수와 동형이며, S(P) → D_P로의 자연스러운 전성사상이 존재한다.
• 사상 θ_P: b∞ → P가 존재할 경우, 구성은 (A_P*, D_P*)라는 상호작용하는 병렬 대수의 쌍을 유도하며, 여기서 A_P*는 D_P*-코모듈의 범주 안의 호프 대수이다.
• D_P*의 특성의 모노이드 M_D^P는 A_P*의 특성의 군 G_A^P에 작용하며, 자유 P-대수 F_P(V) 위에서 항등사상에 접하는 연속적 자기형사의 군과 동형이다.