[논문 리뷰] Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop spaces

Ezra Getzler, John D. S. Jones|ArXiv.org|1994. 03. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 392

한 줄 요약

이 논문은 단순연결된 다양체의 이중 루프 공간 위의 미분 형식에 대해 반복 적분과 작용소 호모토피 대수학을 이용하여 모델을 구축한다. 반복 적분 사상이 교환 법칙을 가진 코호프 대수의 약한 동치임을 증명하며, 특성 0에서 n-대수의 바 건축법과 작용소 해소 기법을 통해 이중 루프 공간의 호모토피 이론적으로 완전한 대수적 모델을 제공한다.

ABSTRACT

This paper provides some background to the theory of operads, used in the first author's papers on 2d topological field theory (hep-th/921204, CMP 159 (1994), 265-285; hep-th/9305013). It is intended for specialists.

연구 동기 및 목표

• 단순연결된 다양체의 이중 루프 공간 위의 미분 형식에 대한 대수적 모델을 개발하는 것.
• 작용소 형식을 사용하여 체인의 이론을 루프 공간에서 이중 루프 공간으로 확장하는 것.
• 미분 형식의 바 건축법과 이중 루프 공간의 드 라함 복합체 사이의 호모토피 이론적 동치를 확립하는 것.
• 작용소에 의해 코딩된 대수적 구조를 통해 이중 차원의 위상적 장 이론을 이해하는 프레임워크를 제공하는 것.
• 2 이상인 n-대수와 그 쌍대 코알제브라로 연관된 결합 대수의 바 건축법을 아벨 및 교환 법칙 대수의 경우로 일반화하는 것.

제안 방법

• 미분 복합 작용소를 사용하여 결합, 교환, 리, 파아송 대수와 같은 대수적 구조를 형식화하는 것.
• n-대수 A에 대해 바 건축법 $B_n A$를 정의하며, 이는 자유 코프리미티브 n-코알제브라의 구조를 유도한다.
• S_k-등변 전류 사상 $pv: e_n^*(k) \to \Omega^{\bullet}(C_k)^\vee$를 아르놀트의 형식의 주요 부분값으로 정의한다.
• 구성 공간 위에서 전류를 사용한 적분을 통해 $\varrho: \Omega^\bullet(M)^{\otimes k} \to \Omega^\bullet(\Omega^2 M)$로 반복 적분 사상을 정의한다.
• 전체 반복 적분 사상 $\varrho: \Omega^\bullet(M) \to \Omega^\bullet(\Omega^2 M)$이 교환 법칙을 가진 미분 복합 대수의 준동형임을 증명한다.
• 화이트헤드 유형 정리를 적용하여, 만약 $\varrho$의 바 건축법이 약한 동치이면 $\varrho$ 자체도 약한 동치임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반복 적분은 이중 루프 공간 $\Omega^2 M$ 위의 미분 형식에 대해 호모토피 이론적으로 완전한 모델을 제공할 수 있는가?
• RQ2 작용소 호모토피 이론은 아벨 및 교환 법칙 대수에서 바 건축법을 n-대수로 일반화하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ3 de Rham 복합체 $\Omega^2 M$의 정확한 대수적 구조는 n-대수와 그 쌍대 코알제브라의 관점에서 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ4 $\Omega^\bullet(M)$에서 $\Omega^\bullet(\Omega^2 M)$로의 반복 적분 사상은 교환 법칙을 가진 코호프 대수의 약한 동치인가?
• RQ5 작용소 해소의 맥락에서 바 건축법의 호모로지와 유도 함수 사이의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• M이 단순연결되어 있을 경우, 반복 적분 사상 $\varrho: \Omega^\bullet(M) \to \Omega^\bullet(\Omega^2 M)$은 교환 법칙을 가진 코호프 대수의 약한 동치이다.
• n-대수 A의 바 건축법 $B_n A$는 n-코알제브라이며, 이는 n-코알제브라의 호모토피 범주에서 분해 불가능 함수의 왼쪽 유도 함수임을 나타낸다.
• n=2일 경우, 바 건축법 $B_2 A$는 복합체 $\bigoplus_{k\geq 1} \Sigma^{-2k} H^\bullet(B_k; (\Sigma^2 A)^{\otimes k})$와 동형이며, 브레이드 군의 코homology와 연결된다.
• B_n A의 미분은 A의 미분, 코브라켓 $\delta_{ij}$, 리 괄호 $\{a_i, a_j\}$를 포함하는 항들의 합으로 명시적으로 주어지며, 부호는 그레이드 교환 법칙에 의해 결정된다.
• 사상 $pv: e_2^*(k) \to \Omega^{\bullet}(C_k)^\vee$는 $C_k^\varepsilon$ 위에서의 적분의 극한으로 구성되며, $d^* \circ pv = \sum_{i<j} pv \circ \delta_{ij}$를 만족한다.
• 바 건축법 $B_n$은 왼쪽 수반 함수 $\Omega_n$을 가지며, 이 수반 쌍은 $n \geq 1$일 때 호모토피 범주를 동치로 이룬다. 이는 쿠일렌의 동치를 아벨 및 교환 법칙 대수의 경우로 일반화한다.