[논문 리뷰] Algebras of Open Dynamical Systems on the Operad of Wiring Diagrams

Dmitry Vagner, David I. Spivak외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 07.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 18인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 오퍼레이드와 워킹 다이어그램을 사용한 범주론적 프레임워크를 제안하여 개방형 연속 시간 동역학 시스템을 모델링한다. 일반적이고 선형 시스템 모두가 블랙박스의 대칭 모나이드 카테고리 위에서 대수를 이룬다는 것을 보여주며, 핵심 기여는 오퍼레이드 합성에 의해 상호연결된 하위시스템—예를 들어 유체 흐름이 있는 연결된 탱크—의 구조를 대수적으로 인코딩하는 형식적 언어를 제공한다는 점이다. 이를 통해 하위시스템의 역학으로부터 복합 시스템의 역학을 체계적으로 유도할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper, we use the language of operads to study open dynamical systems. More specifically, we study the algebraic nature of assembling complex dynamical systems from an interconnection of simpler ones. The syntactic architecture of such interconnections is encoded using the visual language of wiring diagrams. We define the symmetric monoidal category W, from which we may construct an operad O(W), whose objects are black boxes with input and output ports, and whose morphisms are wiring diagrams, thus prescribing the algebraic rules for interconnection. We then define two W-algebras, G and L, which associate semantic content to the structures in W. Respectively, they correspond to general and to linear systems of differential equations, in which an internal state is controlled by inputs and produces outputs. As an example, we use these algebras to formalize the classical problem of systems of tanks interconnected by pipes, and hence make explicit the algebraic relationships among systems at different levels of granularity.

연구 동기 및 목표

• 오퍼레이드와 워킹 다이어그램의 언어를 사용하여 개방형 동역학 시스템을 체계적으로 합성하는 형식적 대수적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 복잡한 시스템을 입력-출력 인터페이스를 통해 연결된 더 단순한 하위시스템의 계층적 조합으로 모델링하기 위해.
• 특히 선형 및 일반적인 미분방정식 기반 시스템의 상호연결을 대칭 모나이드 카테고리 내에서 형식화하기 위해.
• 유체 탱크와 유동 역학을 포함한 표준 예시를 통해 프레임워크의 유용성을 입증하기 위해.
• 결과로 유도된 시스템이 워킹 다이어그램 오퍼레이드 위에서 대수를 이룬다는 것을 확립하여 상호연결에 대해 닫힘 성질을 보장하기 위해.

제안 방법

• 입력 및 출력 포트를 가진 블랙박스를 객체로 하고, 상호연결을 지정하는 워킹 다이어그램이 사상이 되는 대칭 모나이드 카테고리 $\mathbf{W}$ 를 정의한다.
• 워킹 다이어그램을 통한 시스템 합성의 문법적 규칙을 코딩하는 오퍼레이드 $\mathcal{O}\mathbf{W}$ 를 $\mathbf{W}$ 에서 구성한다.
• 일반적인 미분방정식을 부여하는 의미론적 내용을 갖는 두 개의 $\mathbf{W}$-대수, 즉 일반적인 매끄러운 동역학 시스템을 위한 $\mathcal{G}$ 와 선형 시스템을 위한 $\mathcal{L} \subseteq \mathcal{G}$ 를 정의한다.
• 하위시스템을 복합 시스템으로 조합하기 위해 일관성 사상 $\mu_{\mathbf{Lin}}$ 를 사용하여 오퍼레이드의 대수적 구조를 유지한다.
• 한 시스템의 출력 포트가 다른 시스템의 입력 포트로 연결되는 방식을 인코딩하는 블록 순열 행렬(예: $\overline{\varphi}$)을 통해 상호연결을 표현한다.
• 행렬 표현을 적용하여 구성 요소의 역학과 워킹 규칙으로부터 복합 시스템의 역학, 예를 들어 $\dot{Q} = A \cdot (Q, \text{inputs})$ 를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 그래픽적이고 대수적인 언어를 사용하여 개방형 동역학 시스템을 체계적으로 합성할 수 있는가?
• RQ2 유체 탱크나 전기 회로와 같은 복잡한 시스템에서 하위시스템의 상호연결에 기반하는 범주론적 구조는 무엇인가?
• RQ3 선형 및 비선형 동역학 시스템은 워킹 다이어그램을 통한 오퍼레이드 합성에서 어떻게 행동하는가?
• RQ4 복합 시스템의 역학은 구성 요소의 역학과 그 상호연결 패턴만으로 순수하게 유도될 수 있는가?
• RQ5 워킹 다이어그램 오퍼레이드는 다양한 종류의 동역학 시스템 간 상호연결의 의미론을 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 프레임워크는 오퍼레이드 합성 기반으로 고전적인 연결 탱크 문제를 복합 개방형 동역학 시스템으로 성공적으로 모델링하였다.
• 복합 시스템의 역학은 $\dot{Q} = A \cdot (Q, \text{inputs})$ 로 유도되었으며, 행렬 $A$ 는 구성 요소의 역학과 워킹 규칙에서 명시적으로 구성되었다.
• 상호연결 패턴은 항등 블록이 직접 포트 간 연결을 나타내는 블록 순열 행렬 $\overline{\varphi}$ 를 통해 인코딩되었다.
• 복합 탱크 시스템의 시스템 역학은 $\begin{bmatrix}\dot{Q}_1 \\ \dot{Q}_2 \\ X_{1a}^{\text{out}} \\ X_{2a}^{\text{out}} \\ X_{2b}^{\text{out}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-.1&0&1&1&0&0\\ 0&-.2&0&0&1&1\\ .1&0&0&0&0&0\\ 0&.125&0&0&0&0\\ 0&.075&0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ X_{1a}^{\text{in}} \\ X_{1b}^{\text{in}} \\ X_{2a}^{\text{in}} \\ X_{2b}^{\text{in}}\end{bmatrix}$ 로 주어지며, 기존 표준 모델과 정확히 일치함을 보였다.
• 외부 상자 시스템은 식 (25)를 적용하여 도출되었으며, $\begin{bmatrix}\dot{Q}_1 \\ \dot{Q}_2 \\ Y^{\text{out}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-.1&.075&0&1\\ .1&-.2&1&0\\ 0&1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Y_a^{\text{in}} \\ Y_b^{\text{in}}\end{bmatrix}$ 로 주어졌으며, 알려진 시스템 방정식과 일치함을 보였다.