[논문 리뷰] On the homotopy groups of spheres in homotopy type theory

Guillaume Brunerie|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 27

한 줄 요약

이 학위논문은 호모토피 유형 이론 내에서 π₄(S³) ≃ ℤ/2ℤ임을 완전히 구성적인 증명으로 제시하며, 제임스 구축, 호프 불변량, 그리고 가이신 정확열과 같은 고급 도구를 사용한다. 모든 n ≥ 3에 대해 πₙ₊₁(Sⁿ) ≃ ℤ/2ℤ임을 입증하여 고전적 대수적 위상수학 결과를 고전적 논리나 비구성적 방법에 의존하지 않고 계산적이고 구성적인 방식으로 증명한다.

ABSTRACT

The goal of this thesis is to prove that $π_4(S^3) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ in homotopy type theory. In particular it is a constructive and purely homotopy-theoretic proof. We first recall the basic concepts of homotopy type theory, and we prove some well-known results about the homotopy groups of spheres: the computation of the homotopy groups of the circle, the triviality of those of the form $π_k(S^n)$ with $k < n$, and the construction of the Hopf fibration. We then move to more advanced tools. In particular, we define the James construction which allows us to prove the Freudenthal suspension theorem and the fact that there exists a natural number $n$ such that $π_4(S^3) \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Then we study the smash product of spheres, we construct the cohomology ring of a space, and we introduce the Hopf invariant, allowing us to narrow down the $n$ to either $1$ or $2$. The Hopf invariant also allows us to prove that all the groups of the form $π_{4n-1}(S^{2n})$ are infinite. Finally we construct the Gysin exact sequence, allowing us to compute the cohomology of $\mathbb{C}P^2$ and to prove that $π_4(S^3) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ and that more generally $π_{n+1}(S^n) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ for every $n \ge 3$.

연구 동기 및 목표

• 호모토피 유형 이론 내에서 π₄(S³) ≃ ℤ/2ℤ임을 완전히 구성적이고 합성적인 방식으로 증명하는 것.
• 오로지 호모토피 이론적 및 유형 이론적 도구를 사용하여 모든 n ≥ 3에 대해 πₙ₊₁(Sⁿ) ≃ ℤ/2ℤ임을 보여주는 것.
• 프리우덴탈 스펙트럴 정리와 복소 프로젝티브 공간의 코homology 링과 같은 호모토피 유형 이론의 기초 결과를 확립하는 것.
• 호프 불변량을 사용하여 모든 n ≥ 1에 대해 π₄ₙ₋₁(S²ₙ)가 무한함을 보여주며, 고전 결과를 구성적으로 확인하는 것.
• 가이신 정확열을 개발하고 적용하여 ℂℙ²의 코homology를 계산하고 π₄(S³)의 구조를 유도하는 것.

제안 방법

• 프리우덴탈 스펙트럴 정리를 증명하고 π₄(S³) ≃ ℤ/nℤ (어떤 자연수 n에 대해)임을 확립하기 위해 제임스 구축을 정의한다.
• 구의 스매시 곱을 구성하고, 타입 이론적 방법을 사용하여 공간의 코homology 링을 개발한다.
• n ∈ {1, 2}임을 보이고, 모든 n ≥ 1에 대해 π₄ₙ₋₁(S²ₙ)가 무한함을 보이기 위해 호프 불변량을 도입한다.
• 호모토피 유형 이론 내에서 가이신 정확열을 형식화하여 ℂℙ²의 코homology를 계산한다.
• 코homology 계산을 바탕으로 π₄(S³) ≃ ℤ/2ℤ임을 유도하고, 이를 모든 n ≥ 3에 대해 πₙ₊₁(Sⁿ) ≃ ℤ/2ℤ로 일반화한다.
• 유일성, 고차 호모토피 유도형, 그리고 단절을 활용하여 증명이 구성적이고 합성적인 방식을 유지하도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호모토피 유형 이론 내에서 고전적 추론이나 비구성적 선택 없이 π₄(S³)를 구성적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 n ≥ 3일 때 πₙ₊₁(Sⁿ)의 정확한 구조는 무엇이며, 합성 호모토피 이론을 사용하여 이것이 ℤ/2ℤ임을 증명할 수 있는가?
• RQ3 호프 불변량은 타입 이론 내에서 어떻게 형식화될 수 있으며, π₄(S³) ≃ ℤ/nℤ에서 가능한 n의 값을 구분하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 가이신 정확열은 호모토피 유형 이론 내에서 어떻게 구성되고 적용될 수 있으며, ℂℙ²의 코homology를 계산하는 데 사용할 수 있는가?
• RQ5 트렁케이션의 루프 공간은 어느 정도 특징지어질 수 있으며, 이는 구의 호모토피 군과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• π₄(S³) ≃ ℤ/2ℤ는 호모토피 유형 이론 내에서 완전히 구성적인 증명을 통해 입증되었으며, 오로지 합성적이고 타입 이론적 방법에 의존한다.
• 가이신 정확열은 형식화되어 ℂℙ²의 코homology를 계산하는 데 사용되었으며, 이는 직접적으로 π₄(S³) ≃ ℤ/2ℤ임을 유도한다.
• 모든 n ≥ 3에 대해 πₙ₊₁(Sⁿ) ≃ ℤ/2ℤ임이 입증되었으며, 이는 n = 3인 경우를 초월하여 일반화된 결과이다.
• 호프 불변량을 사용하여 모든 n ≥ 1에 대해 π₄ₙ₋₁(S²ₙ)가 무한함을 증명함으로써 고전 결과를 구성적으로 확인하였다.
• 제임스 구축을 형식화하여 프리우덴탈 스펙트럴 정리를 증명하고, π₄(S³)가 유한하며 어떤 n에 대해 ℤ/nℤ와 동형임을 보였다.
• S²의 2-트렁케이션의 루프 공간이 S²의 루프 공간의 2-트렁케이션과 동치임을 보였으며, 이는 고차 호프 피브레이션의 구성에 기여한다.