[논문 리뷰] Almost Envy Freeness and Welfare Efficiency in Fair Division with Goods or Bads

Martin Aleksandrov|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 01.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 32인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 불쾌한 항목(나쁜 것들)이 있는 공정 분배 문제에 대해 기존의 EF1 및 EFX와 같은 보조 개념을 일반화한 새로운 공정성 개념인 1EF 및 XEF을 도입한다. 추가로, 가산 및 동일한 평가 기준 하에서 거의 환경선의 공정성과 복지 효율성(Pareto 효율성, 내쉬 복지, 균등 복지)을 달성하는 새로운 알고리즘(Lipton–, leximax–, Alg-Identical–)을 제안하며, 동일한 평가 기준 하에서 내쉬 복지 최대화가 XEF 및 PE 할당을 유도함을 증명한다. 또한, 반단조성 평가 기준 하에서 1EF와 효율성을 동시에 확보할 수 없는 불가능성 결과도 제시한다.

ABSTRACT

We consider two models of fair division with indivisible items: one for goods and one for bads. For goods, we study two generalized envy freeness proxies (EF1 and EFX for goods) and three common welfare (utilitarian, egalitarian and Nash) efficiency notions. For bads, we study two generalized envy freeness proxies (1EF and XEF for goods) and two less common diswelfare (egalitarian and Nash) efficiency notions. Some existing algorithms for goods do not work for bads. We thus propose several new algorithms for the model with bads. Our new algorithms exhibit many nice properties. For example, with additive identical valuations, an allocation that maximizes the egalitarian diswelfare or Nash diswelfare is XEF and PE. Finally, we also give simple and tractable cases when these envy freeness proxies and welfare efficiency are attainable in combination (e.g. binary valuations, house allocations).

연구 동기 및 목표

• 공정 분배 문제에서 잘 알려진 보조 개념들(예: EF1, EFX)이 나쁜 것들에 대해 성립하지 않는 한계를 해결하고, 보통의 상품에 대한 공정성 및 효율성 개념을 나쁜 것들로 확장하는 것.
• 영향도가 0일 수 있는 경우에도 안정적인 공정성 기준인 1EF 및 XEF를 정의하여 이전의 개념보다 더 일반적인 범위에서 적용 가능한 새로운 보조 공정성 기준을 제안하는 것.
• 나쁜 것들에 대해 거의 환경선의 공정성과 복지 효율성(모든 복지 기준 포함)을 동시에 달성하는 새로운 알고리즘(Lipton–, leximax–, Alg-Identical–)을 설계하는 것.
• 나쁜 것들에 대해 거의 환경선의 공정성과 복지 효율성을 동시에 달성할 수 있는 조건(예: 0/-1 평가 기준, 동일한 평가 기준 등)을 규명하는 것.
• 반단조성 동일 평가 기준 하에서 1EF와 효율성을 동시에 확보할 수 없는 불가능성 결과를 증명하는 것.

제안 방법

• 나쁜 것들에 대한 일반화된 환경선 기반 보조 개념인 1EF 및 XEF를 도입하며, 이는 마진 복지 및 할당에서의 묶음 제거를 기반으로 정의된다.
• 반단조성 평가 기준 하에서 1EF 할당을 계산하는 Lipton– 알고리즘을 제안하며, 이는 Lipton의 원래 알고리즘의 변형이다.
• 최대 최소 기반 접근 방식인 leximax– 솔루션을 개발하여, 동일한 평가 기준 또는 2명의 이질적 평가 기준을 가진 에이전트에 대해 XEF 및 MEDW(균등 복지)를 보장한다.
• 알고리즘의 대칭성과 관련하여, 음수로 변환된 문제에 대해 Alg-Identical 알고리즘을 그대로 적용하는 Alg-Identical– 알고리즘을 설계하여, 동일한 평가 기준 하에서 XEF 및 복지 효율성을 보장한다.
• 상품과 나쁜 것들 사이의 이중성 원리를 활용: 음수로 변환된 나쁜 것 문제에서 내쉬 복지를 최대화하는 할당은 원래의 나쁜 것 설정에서 XEF 및 PE 할당에 해당한다.
• 감소 기법과 문제의 부정화를 통해 상품 문제에서의 결과를 나쁜 것 문제로 이행시키며, 특히 동일한 평가 기준 케이스에서 효과적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 상품에 대한 공정성 보조 개념(EF1, EFX)을 나쁜 것들로 일반화할 수 있는가? 특히 저가치 상황에서의 자명한 만족을 피할 수 있는가?
• RQ2 나쁜 것들에 대한 공정 분배에서 거의 환경선의 공정성과 복지 효율성(Pareto 효율성, 내쉬 복지, 균등 복지 등)을 동시에 달성할 수 있는 새로운 알고리즘이 존재하는가?
• RQ3 어떤 조건(예: 0/-1 평가 기준, 동일한 평가 기준 등) 하에서 1EF 및 XEF를 복지 효율성과 함께 달성할 수 있는가?
• RQ4 반단조성 동일 평가 기준 하에서 1EF와 복지 효율성을 동시에 확보할 수 있는가? 만약 불가능한 경우, 그 이유는 무엇인가?
• RQ5 상품에서의 공정성 및 효율성의 공리적 성질이 나쁜 것들로 어떻게 일반화되는가? 특히 이중성과 알고리즘 이행 관점에서 설명할 수 있는가?

주요 결과

• 에이전트들이 나쁜 것들에 대해 동일한 평가 기준을 가질 경우, 내쉬 복지(복리도의 곱)를 최대화하는 할당은 항상 XEF 및 PE를 보장한다.
• Lipton– 알고리즘은 임의의 반단조성 평가 기준 하에서 1EF 할당을 계산하며, 최대 환경선을 제한한다. 이는 Lipton의 원래 알고리즘을 나쁜 것들로 확장한 것이다.
• leximax– 솔루션은 임의의 수의 에이전트에 대해 동일한 평가 기준을 가질 경우 또는 이질적 평가 기준을 가진 2명의 에이전트에 대해 XEF 및 MEDW(균등 복지) 할당을 보장한다.
• 0/-1 평가 기준 하에서는 반응성 드래프트 알고리즘이 선형 시간 내에 XEF, PE, MUW, MEW, mNDW 할당을 모두 계산할 수 있다.
• 반단조성 동일 평가 기준 하에서는 1EF 할당이 Pareto 효율적이 될 수 없으며, 2명의 에이전트와 3개 또는 4개의 항목을 가진 반례를 통해 이를 입증한다.
• 반단조성 평가 기준 하에서는 MEW(최대 최소 균등 복지) 할당이 1EF 또는 MEDW를 만족하지 못할 수 있으며, 이는 2명의 에이전트일지라도 근본적인 불일치를 보여준다.