[논문 리뷰] Almost Proportional Allocations for Indivisible Chores.

Bo Li, Yingkai Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 22.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비분할 성과를 가진 이질적 에이전트에게 할당하기 위한 공정성 기준으로 비율성(Proportionality)을 임의의 항목까지 허용하는 PROPX를 제안하며, PROPX 할당이 항상 존재함을 증명한다 — 가중치가 있는 설정에서도 마찬가지로 그렇다. 이 논문은 두 가지 알고리즘을 제안한다: 하나는 악의 순환 제거 기법을 개선하여 PROPX와 4/3-근사 MMS를 동시에 달성하고, 다른 하나는 가중치가 있는 경우를 위한 '입찰-취득(bid-and-take)' 알고리즘으로, 공정성과 사회적 복지에 대한 이론적 보장을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider how to fairly allocate $m$ indivisible chores to a set of $n$ (asymmetric) agents. As exact fairness cannot be guaranteed, motivated by the extensive study of EF1, EFX and PROP1 allocations, we propose and study {\em proportionality up to any item} (PROPX), and show that a PROPX allocation always exists. We argue that PROPX might be a more reliable relaxation for proportionality in practice than the commonly studied maximin share fairness (MMS) by the facts that (1) MMS allocations may not exist even with three agents, but PROPX allocations always exist even for the weighted case when agents have unequal obligation shares; (2) any PROPX allocation ensures 2-approximation for MMS, but an MMS allocation can be as bad as $\Theta(n)$-approximation to PROPX. We propose two algorithms to compute PROPX allocations and each of them has its own merits. Our first algorithm is based on a recent refinement for the well-known procedure -- envy-cycle elimination, where the returned allocation is simultaneously PROPX and $4/3$-approximate MMS. A by-product result is that an exact EFX allocation for indivisible chores exists if all agents have the same ordinal preference over the chores, which might be of independent interest. The second algorithm is called bid-and-take, which applies to the weighted case. Furthermore, we study the price of fairness for (weighted) PROPX allocations, and show that the algorithm computes allocations with the optimal guarantee on the approximation ratio to the optimal social welfare without fairness constraints.

연구 동기 및 목표

• 비등가 의무 또는 가중치를 가진 에이전트들 사이에서 비분할 성과를 공정하게 할당하는 문제에 대응하기 위해.
• 기존 기준인 MMS의 한계를 극복하기 위해 비율성의 새로운 완화 기준인 '임의의 항목까지의 비율성(PROPX)'를 제안하기 위해.
• 특히 MMS가 존재하지 않을 수 있는 가중치 설정에서 PROPX 할당을 계산하는 효율적인 알고리즘을 설계하기 위해.
• PROPX 할당의 공정성 가격을 분석하고, 최적의 사회적 복지에 대한 근사 한계를 설정하기 위해.

제안 방법

• 임의의 하나의 항목을 할당에서 제거한 후에도 비율성이 유지되는 조건을 만족하는 새로운 공정성 기준인 PROPX를 정의한다.
• 악의 순환 제거 절차를 개선하여, 동시에 PROPX와 4/3-근사 MMS를 만족하는 할당을 생성한다.
• 에이전트들이 다른 의무 비중을 가진 가중치 설정에 특화된 새로운 '입찰-취득(bid-and-take)' 알고리즘을 도입한다.
• 전략적 입찰를 활용한 순차적 항목 선택 메커니즘을 사용하여, 가중치 설정에서 PROPX 공정성을 보장한다.
• 공정성 제약 조건이 없는 최적의 사회적 복지에 비해 PROPX 할당의 근사 비율을 분석한다.
• 이론적 경계를 설정하여, 어떤 PROPX 할당이라도 MMS에 대해 2-근사 보장을 제공하며, 반대로 MMS 할당은 PROPX에 대해 최대 Θ(n)-근사 수준까지 열등할 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비분할 항목과 이질적 가중치를 가진 에이전트들 사이에서 비율성이 항상 보장되는 공정성 기준이 존재하는가?
• RQ2 PROPX 할당은 효율적으로 계산될 수 있으며, 가중치 설정을 포함한 모든 경우에서 존재하는가?
• RQ3 MMS에 비해 PROPX는 공정성 보장과 존재성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 PROPX 할당은 최적의 사회적 복지에 비해 어떤 근사 비율을 가지는가?
• RQ5 입찰-취득 또는 개선된 악의 순환 제거와 같은 실용적이고 효율적인 알고리즘으로 PROPX를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• PROPX 할당은 가중치 설정에서도 항상 존재한다 — 에이전트들이 다른 의무 비중을 가질 수 있음에도 불구하고.
• 모든 PROPX 할당은 최대분할 공정성(MMS)에 대해 2-근사 보장을 제공하며, 반대로 MMS 할당은 PROPX에 대해 최대 Θ(n)-근사 수준까지 열등할 수 있다.
• 개선된 악의 순환 제거 알고리즘은 동시에 PROPX와 4/3-근사 MMS를 만족하는 할당을 반환한다.
• 모든 에이전트가 성과에 대해 동일한 순서적 선호도를 가질 경우, 비분할 성과에 대한 정확한 EFX 할당이 존재한다.
• 입찰-취득 알고리즘은 가중치 설정에서 PROPX 할당을 강력한 이론적 보장 하에 계산한다.
• PROPX 할당의 공정성 가격은 공정성 제약 조건이 없는 최적의 사회적 복지에 대해 최적의 근사 비율을 달성한다.