[논문 리뷰] Almost sure asymptotics for the random binary search tree

Matthew I. Roberts|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 22.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 이진 탐색 트리의 높이 $ H_n $ 와 포화 수준 $ h_n $ 에 대해 $ \log\log $ 척도에서 거의 확실한 渐近적 변동을 규명한다. 이는 $ \frac{b\log n - aH_n}{\log\log n} $ 가 거의 확실하게 $ \frac{1}{2} $ 와 $ \frac{3}{2} $ 사이를 진동하며, 확률적으로 $ \frac{3}{2} $ 로 수렴함을 보여준다. 또한 트리의 가장자리에 있는 입자 수인 $ F_n $ 가 거의 확실하게 유계가 아니며, 이는 가장자리 크기의 지속적 성장을 시사한다.

ABSTRACT

We consider a (random permutation model) binary search tree with n nodes and give asymptotics on the loglog scale for the height H_n and saturation level h_n of the tree as n o\infty, both almost surely and in probability. We then consider the number F_n of particles at level H_n at time n, and show that F_n is unbounded almost surely.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 이진 탐색 트리의 높이 $ H_n $ 와 포화 수준 $ h_n $ 에 대해 $ \log\log $ 척도에서 거의 확실한 渐近적 변동을 도출하는 것.
• 로그 성장과의 정규화된 편차에 대해 $ H_n $ 와 $ h_n $ 의 거의 확실한 liminf 및 limsup 행동을 정밀하게 규명하는 것.
• 특히 유계인지 또는 무한히 증가하는지 여부를 고려하여, 가장자리 수준(높이 $ H_n $)에서의 입자 수 $ F_n $ 의 장기적 행동을 조사하는 것.
• 연속 시간 Yule 분열 과정과의 연결성을 활용하여 분열 랜덤 워크의 결과를 이산 트리 모델로 이전하는 것.
• 현재 작업에서 열려 있는 문제인 $ F_n $ 의 점점 더 정확한 분포를 분석하기 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 랜덤 이진 탐색 트리와 연속 시간 Yule 분열 과정 사이의 잘 알려진 대응 관계를 활용한다. 여기서 각 입자는 분열률 1로 분열하며, 분열 시 왼쪽으로 1만큼 이동한다.
• Hu & Shi (2007) 의 결과를 응용하여 Yule 과정에서 최소 위치의 거의 확실한 limsup 및 liminf 행동을 도출함으로써 $ H_n $ 과 $ h_n $ 의 渐近적 성질을 유도한다.
• 정규화된 편차 $ \frac{b\log n - aH_n}{\log\log n} $ 과 $ \frac{\alpha h_n - \beta\log n}{\log\log n} $ 를 정의하며, 분열 역학과 관련된 음함수로 정의된 상수 $ a, b, \alpha, \beta $ 를 사용한다.
• 강한 마코프 성질과 지수 尾確率 추정을 활용하여, 한 줄기 선조가 기존 입자들이 분열하기 전에 가장자리에 도달할 확률을 제한한다.
• 가장자리 입자 수 $ 2k $ 에 대한 귀납적 추론을 사용하여, $ 2k $ 개의 입자가 무한히 자주 나타난다면, $ 2k+2 $ 개의 입자도 거의 확실하게 무한히 자주 나타남을 보인다.
• 시간 변화에 따라 경로가 동일한 연속 시간 Yule 과정에서의 결과를 이산 이진 탐색 트리로 이전함으로써, $ F_n $ 에 대해 거의 확실한 결론을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 이진 탐색 트리의 높이 $ H_n $ 가 $ \log\log $ 척도에서 거의 확실하게 liminf 및 limsup 변동을 어떻게 보이는가?
• RQ2 포화 수준 $ h_n $ 과 높이 $ H_n $ 는 거의 확실한 의미에서 그들의 로그 성장률과 어떻게 다름?
• RQ3 가장자리(높이 $ H_n $)에 있는 입자 수 $ F_n $ 는 거의 확실하게 유계인가, 아니면 무한히 증가하는가?
• RQ4 Yule 과정에서 입자의 이동 및 분열 역학을 활용하여 이산 트리 모델의 성질를 유추할 수 있는가?
• RQ5 가장자리 근처의 입자에서 유래한 선조가 기존 입자들이 분열하기 전에 가장자리에 도달할 확률은 얼마이며, 이는 $ F_n $ 의 성장에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 정규화된 편차 $ \frac{b\log n - aH_n}{\log\log n} $ 는 거의 확실하게 $ \frac{1}{2} = \liminf_{n\to\infty} \frac{b\log n - aH_n}{\log\log n} < \limsup_{n\to\infty} \frac{b\log n - aH_n}{\log\log n} = \frac{3}{2} $ 를 만족하며, $ a \approx 0.76804 $, $ b \approx 3.31107 $ 이다.
• 확률적으로 $ \frac{b\log n - aH_n}{\log\log n} \to \frac{3}{2} $ 로 수렴하며, $ n \to \infty $ 일 때 분포 수렴이 limsup 값으로 수렴함을 확인한다.
• 포화 수준 $ h_n $ 에 대해 정규화된 편차 $ \frac{\alpha h_n - \beta\log n}{\log\log n} $ 도 거의 확실하게 동일한 liminf 및 limsup 범위 $ \frac{1}{2} $ 과 $ \frac{3}{2} $ 를 가진다. 여기서 $ \alpha \approx 1.6783 $, $ \beta \approx 0.6266 $ 이다.
• 가장자리에 있는 입자 수 $ F_n $ 는 거의 확실하게 $ \limsup_{n\to\infty} F_n = \infty $ 를 만족하며, 이는 가장자리 크기가 무한히 증가함을 시사한다.
• $ F_n $ 의 무한성 증명은, $ 2k $ 개의 입자가 가장자리에 있을 경우, 기존의 $ 2k $ 개의 입자가 분열하기 전에 두 개의 새로운 입자가 가장자리에 도달할 확률이 0보다 크며, 이 확률이 0에서 일정하게 떨어져 있음을 보여, $ 2k+2 $ 개의 입자가 무한히 자주 나타남을 유도한다.
• 이 결과는 $ k $ 에 대한 귀납법을 통해 유도되며, 강한 마코프 성질과 지수 모멘트 추정을 활용하여, 유한한 $ 2k $ 를 초월하는 가장자리 크기의 재귀성을 보장한다.