[논문 리뷰] Amenability versus property (T) for non locally compact topological groups

Vladimir Pestov|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 04.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 충분한 유니터리 표현을 갖는 SIN 군에서, 애매성과 강한 성질 (T)이 사전유계성을 함의함을 증명하며, Bekka의 추측을 반증한다. 이는 성질 (T)을 갖지만 유한 카즈단 집합이 없는 완전하고 분리 가능하며 최소한의 거의 주기적인 폴란드 군의 예를 구성함으로써 이루어진다. 또한 성질 (T)을 갖는 위상군의 집합이 곱위상과 함께 임의의 무한 곱에 대해 닫혀 있음을 보여준다.

ABSTRACT

For locally compact groups amenability and Kazhdan's property (T) are mutually exclusive in the sense that a group having both properties is compact. This is no longer true for more general Polish groups. However, a weaker result still holds for SIN groups (topological groups admitting a basis of conjugation-invariant neighbourhoods of identity): if such a group admits sufficiently many unitary representations, then it is precompact as soon as it is amenable and has the strong property (T) (i.e. admits a finite Kazhdan set). If an amenable topological group with property (T) admits a faithful uniformly continuous representation, then it is maximally almost periodic. In particular, an extremely amenable SIN group never has strong property (T), and an extremely amenable subgroup of unitary operators in the uniform topology is never a Kazhdan group. This leads to first examples distinguishing between property (T) and property (FH) in the class of Polish groups. Disproving a 2003 conjecture by Bekka, we construct a complete, separable, minimally almost periodic topological group with property (T), having no finite Kazhdan set. Finally, as a curiosity, we observe that the class of topological groups with property (T) is closed under arbitrary infinite products with the usual product topology. A large number of questions about various particular topological groups remain open. The talk is based on the preprint arXiv:1512.01572v3 [math.GR], to appear in Trans. Am. Math. Soc., never before presented at a conference.

연구 동기 및 목표

• 비국소적으로 컴act이 아닌 위상군에서 애매성과 성질 (T)의 상호작용을 조사한다.
• Bekka(2003)의 추측을 해결한다: 모든 폴란드 군이 성질 (T)을 갖는다면 반드시 유한한 카즈단 집합을 가져야 한다.
• SIN 군에서 성질 (T), 강한 성질 (T), 그리고 사전유계성 간의 관계를 명확히 한다.
• 새로운 예를 통해 폴란드 군의 범주에서 성질 (T)과 성질 (FH)을 구별한다.
• 성질 (T)을 갖는 위상군의 집합이 곱위상과 함께 임의의 무한 곱에 대해 닫혀 있음을 확립한다.

제안 방법

• Bekka의 애매한 유니터리 표현 개념과 [22]의 결과를 활용하여 힐버트 공간 내 표현을 분석한다.
• SIN 군에서 분리 가능한 유니터리 표현을 갖는 경우, 강한 성질 (T)의 개념을 유한한 카즈단 집합을 통해 적용한다.
• 초곱 기법을 사용하여 거의 불변 벡터를 분석하고, 불변 벡터가 존재하지 않을 경우 모순을 이끌어낸다.
• 무한 I과 무한 단순 카즈단 군 Γ에 대해 제한된 곱 b(I, Γ)를 사용하여 반례를 구성한다.
• 카즈단 군의 무한 가족에 곱위상을 적용하여 임의의 무한 곱에 대한 닫힘성을 증명한다.
• 양수 원리와 좌표 사영을 사용하여 일부 군이 유한한 카즈단 집합을 가질 수 없음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 성질 (T)과 분리 가능한 유니터리 표현을 갖는 애매한 SIN 군이 사전유계성이 아닐 수 있는가?
• RQ2 모든 폴란드 군이 성질 (T)을 갖는다면 반드시 유한한 카즈단 집합을 가져야 하는가?
• RQ3 폴란드 군의 범주에서 성질 (T)과 성질 (FH)을 구별할 수 있는가?
• RQ4 성질 (T)을 갖는 위상군의 집합이 곱위상과 함께 임의의 무한 곱에 대해 닫혀 있는가?
• RQ5 유한한 카즈단 집합이 없는 성질 (T)을 갖는 최소한의 거의 주기적 군이 존재하는가?

주요 결과

• 강한 성질 (T)과 분리 가능한 유니터리 표현을 갖는 애매한 SIN 군은 사전유계성이다.
• 비자명한 유니터리 표현을 갖는 애매한 SIN 군이 최소한의 거의 주기적일 경우, 강한 성질 (T)을 가질 수 없다.
• 수렴 측도 위상에서의 L0((0,1), T) 군은 성질 (T)을 갖지만 유한한 카즈단 집합이 없다.
• 균일 위상에서의 I+K 형태의 유니터리 연산자 군 UC(ℓ2)는 성질 (T)을 갖지 않는다.
• 성질 (T)을 갖는 위상군의 집합은 곱위상과 함께 임의의 무한 곱에 대해 닫혀 있다.
• 성질 (T)을 갖지만 유한한 카즈단 집합이 없는 완전하고 분리 가능하며 최소한의 거의 주기적인 폴란드 군이 존재하며, 이는 Bekka의 2003년 추측을 반증한다.