[논문 리뷰] An Adaptive Nested Source Term Iteration for Radiative Transfer Equations

Wolfgang Dahmen, Felix Gruber외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 16.

Numerical methods in inverse problemsMathematics참고 문헌 19인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 L2 노름에서 인증된 후행 오차 경계를 갖는 복사 전달 방정식을 해결하기 위한 적응형 내재된 소스항 반복(Adaptive Nested Source Term Iteration, ASTI) 방법을 제안한다. 안정화된 페트로프-갈레르킨 변분 형식, 엄밀한 오차 제어를 위한 비연속 페트로프-갈레르킨(DPG) 스킴, 그리고 후행 DPG 오차 경계에 기반한 적응형 메시 메시 기반의 방법을 통해, 저질서 산란 연산자 근사와 행렬 압축을 통해 계산 비용을 줄이며 보장된 정확도로 수렴 가능하게 한다.

ABSTRACT

We propose a new approach to the numerical solution of radiative transfer equations with certified a posteriori error bounds. A key role is played by stable Petrov--Galerkin type variational formulations of parametric transport equations and corresponding radiative transfer equations. This allows us to formulate an iteration in a suitable, infinite dimensional function space that is guaranteed to converge with a fixed error reduction per step. The numerical scheme is then based on approximately realizing this iteration within dynamically updated accuracy tolerances that still ensure convergence to the exact solution. To advance this iteration two operations need to be performed within suitably tightened accuracy tolerances. First, the global scattering operator needs to be approximately applied to the current iterate within a tolerance comparable to the current accuracy level. Second, parameter dependent linear transport equations need to be solved, again at the required accuracy of the iteration. To ensure that the stage dependent error tolerances are met, one has to employ rigorous a posteriori error bounds which, in our case, rest on a Discontinuous Petrov--Galerkin (DPG) scheme. These a posteriori bounds are not only crucial for guaranteeing the convergence of the perturbed iteration but are also used to generate adapted parameter dependent spatial meshes. This turns out to significantly reduce overall computational complexity. Since the global operator is only applied, we avoid the need to solve linear systems with densely populated matrices. Moreover, the approximate application of the global scatterer accelerated through low-rank approximation and matrix compression techniques. The theoretical findings are illustrated and complemented by numerical experiments with non-trivial scattering kernels.

연구 동기 및 목표

• 복사 전달 방정식을 위한 수치적으로 안정적이고 적응형 알고리즘을 개발하고, 엄밀한 인증된 오차 제어를 수행한다.
• 운반 dominant 영역에서 운동론적 모델에 대한 오차 제어 기능이 없는 해법의 부족을 해결한다.
• 적응형 공간 메시와 산란 연산자의 저질서 근사로 계산 복잡도를 감소시킨다.
• 동적으로 조정된 정확도 허용 오차 기반으로 반복적 해법의 수렴을 보장한다.
• 후행 오차 경계를 통한 불확실성 정량화 프레임워크를 복사 전달 문제에 제공한다.

제안 방법

• 매개변수 기반 운반 및 복사 전달 방정식에 대해 안정적인 페트로프-갈레르킨 변분 형식을 적용한다.
• 보장된 고정된 오차 감소율을 갖는 무한차원 함수 공간 내 반복적 해법을 설계한다.
• 후행 DPG 오차 경계에서 유도된 동적으로 업데이트되는 정확도 허용 오차 기반으로 반복을 근사한다.
• 후행 DPG 경계를 활용해 매개변수 의존적 공간 메시의 적응형 세분화를 이끈다.
• 저질서 및 행렬 압축 기법을 적용해 전역 산란 연산자 적용을 가속화한다.
• 적응형 DPG 이산화를 통해 요구되는 정확도 수준에서 매개변수 의존 선형 운반 방정식을 해석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보장된 수렴성과 오차 감소를 갖는 무한차원 함수 공간 내에서 내재된 소스항 반복을 어떻게 설정할 수 있는가?
• RQ2 DPG 스킴에서 유도된 후행 오차 경계는 어떻게 적응형 반복 해법의 정확도 제어에 활용될 수 있는가?
• RQ3 오차 경계 기반의 적응형 메시가 복사 전달에서 계산 효율성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 오차 제어를 유지하면서 전역 산란 연산자를 어떻게 효율적으로 적용할 수 있는가?
• RQ5 기존 방법에 비해 자유도를 감소시켜도 인증된 정확도를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• ASTI 알고리즘은 10번째 반복에서 최종 오차 0.00400132를 달성했으며, 자유도는 42,179,602개로 목표 정확도로의 수렴을 보였다.
• 후행 DPG 경계를 통한 인증된 오차 제어로 인해 전역 오차 경계가 항상 실제 오차를 초과함을 보장했다.
• 후행 오차 추정치에 기반한 적응형 공간 메시는 균일 메시 세분화에 비해 전체 계산 비용을 크게 감소시켰다.
• 저질서 근사를 통해 산란 연산자가 효율적으로 적용되어 빠른 행렬 압축과 해 시간 단축을 가능하게 했다.
• 수렴 역사 분석 결과 내부 오차 허용 오차가 전역 오차 경계보다 더 엄격함을 확인하여 효과적인 오차 관리가 이루어졌음을 시사했다.
• 각각의 각도 방향에서의 최종 해를 시각화한 결과, 물리적으로 비합리적인 진동이 없었으며, 구조 보존 수정 없이도 방법의 강건성을 확인했다.