[논문 리뷰] An alternative theorem for gradient systems

Biagio Ricceri|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 반단순 공간에서의 그래디언트 시스템에 대한 대체 정리를 수립하며, $ C^1 $ 함수 $ \Phi: X \times Y \to \mathbb{R} $에 대해, 또는 사다리꼴 점이 존재하거나, 모든 밀도가 있는 볼록 부분집합 $ S \subseteq Y $에 대해 $ \tilde{y} \in S $가 존재하여 $ \Phi(\cdot, \tilde{y}) $가 $ X $에서 최소 두 개의 전역 최소점과 함께 최소 세 개의 임계점을 가짐을 증명한다. 이 결과는 강제성과 볼록성 조건 하에서 비협력적 타원형 시스템에 적용되어 비자명한 해의 존재를 보장한다.

ABSTRACT

In this paper, given two Banach spaces $X, Y$ and a $C^1$ functional $Φ:X imes Y o {\bf R}$, under general assumptions, we show that either $Φ$ has a saddle-point in $X imes Y$ or, for each convex and dense set $S\subseteq Y$, there is some $ ilde y\in S$ such that $Φ(\cdot, ilde y)$ has at least three critical points in $X$, two of which are global minima. Also, an application to non-cooperative elliptic systems is presented.

연구 동기 및 목표

• 반단소 공간 $ X \times Y $에서의 $ C^1 $ 함수에 대해 일반적인 최소최대 유형의 대체 정리를 수립하는 것.
• 사다리꼴 점이 존재하는지 여부에 따라, 또는 $ \Phi(\cdot, y) $가 어떤 $ y \in Y $에 대해 다수의 임계점을 가짐을 증명함으로써 그래디언트 시스템의 해법을 해결하는 것.
• 클래식한 정리들(예: Fan-Sion)을 초월하여 비협력적 상황에서의 추상적 최소최대 결과를 확장하는 것.
• 추상적 결과를 비협력적 타원형 시스템에 적용하여 $ L^\infty(\Omega) \times L^\infty(\Omega) $에서 비자명한 약한 해의 존재를 증명하는 것.

제안 방법

• 약한 위상과 약한 하측연속성을 사용하여 $ X \times Y $ 위에서 상한과 하한의 달성 및 컴팩트성 분석.
• Eberlein-Smulian 정리를 적용하여 최소화 수열의 약한 순서 컴팩트성을 보장하는 것.
• 식 (3)의 성장 조절과 $ J_x' $의 컴팩트성에 기반해 $ \Phi(\cdot, y) $에 대한 Palais-Smale 조건을 검증하는 것.
• 시스템을 $ \Phi(x,y) = \frac{1}{2}(\|x\|_X^2 - \|y\|_Y^2) - J(x,y) $ 형태로 환원하여 정리 1의 적용 가능성을 확보하는 것.
• 상한-하한 부등식 $ \sup_Y \inf_X \Phi < \inf_X \sup_Y \Phi $를 사용하여 대체 케이스를 유도하는 것.
• 문헌 [20]의 정리 1.1과 [8]의 추론 1을 적용하여 $ \Phi(\cdot, \tilde{y}) $에 최소 세 개의 임계점이 있음을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반단소 바나흐 공간 $ X, Y $에서 $ C^1 $ 함수 $ \Phi: X \times Y \to \mathbb{R} $가 사다리꼴 점을 만족하는 조건은 무엇인가? 즉, $ \Phi(x^*,y^*) = \inf_X \Phi(\cdot,y^*) = \sup_Y \Phi(x^*,\cdot) $를 만족하는가?
• RQ2 그러한 사다리꼴 점이 존재하지 않을 경우, 어떤 $ \tilde{y} \in S $에 대해 $ \Phi(\cdot, \tilde{y}) $가 최소 세 개의 임계점을 가지며, 그 중 두 개가 전역 최소점이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 이 추상적 대체 정리를 비협력적 타원형 시스템에 적용하여 비자명한 해의 존재를 보장할 수 있는가?
• RQ4 밀도가 있는 볼록 부분집합 $ S \subseteq Y $에 속하는 $ y $에 대해, 함수 $ \Phi(\cdot, y) $가 강제성과 Palais-Smale 조건을 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 추상적 결과를 사용하여 비협력적 타원형 PDE 시스템에서 $ L^\infty $ 해의 존재를 어떻게 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 또다시, $ \Phi $에 대해 사다리꼴 점이 존재하거나, 모든 밀도가 있는 볼록 부분집합 $ T \subseteq S $에 대해 $ \tilde{y} \in T $가 존재하여 $ \Phi(\cdot, \tilde{y}) $가 $ X $에서 최소 세 개의 임계점을 가지며, 그 중 두 개가 전역 최소점임을 보장한다.
• Hilbert 공간 $ X, Y $에 대해, $ J $가 $ y $에 대해 준볼록성과 강제성을 만족하고, $ J_x' $가 컴팩트하며, 성장이 이차 이하일 경우, 또는 시스템 $ x = J_x'(x,y), y = -J_y'(x,y) $에 대해 사다리꼴 성질을 갖는 해가 존재하거나, $ \Phi(\cdot, \tilde{y}) $에 다수의 임계점이 존재한다.
• 비협력적 타원형 시스템에서 $ H(x,u,v) $가 $ H(x,0,0) = 0 $, 국소 이차 이하 성장, $ H_u \geq 0 $를 만족할 경우, $ \lambda > \lambda^* $이면 $ L^\infty(\Omega) \times L^\infty(\Omega) $에서 비자명한 약한 해가 존재한다.
• 만약 $ H(x,u,v) = \alpha(x)(F(u)G(v) - F(0)G(0)) $이며, $ F $가 음이 아닌, 증가하는, 이차 이하의 함수이고 $ G $가 볼록적이며 양수일 경우, $ \lambda > \lambda_\alpha^* $이면 $ L^\infty(\Omega) \times L^\infty(\Omega) $에서 비자명한 해가 존재한다.
• 해 $ (u^*, v^*) $는 영이 아니며 $ L^\infty(\Omega) \times L^\infty(\Omega) $에 속하며, $ v^* = 0 $이면 $ u^* \neq 0 $이 되는데, 이는 에너지 함수에서의 엄격한 감소성 때문이며, 이는 해의 비자명성을 보장한다.
• 결과는 $ u \mapsto H_u(x,u,v)/u $가 $ (0,\infty) $에서 엄격히 감소함을 기반으로 하며, 고정된 $ v $에 대해 비자명한 해의 유일성을 보장한다. 이와 추상 정리의 조합은 비자명한 해의 존재를 암시한다.