[논문 리뷰] An analogue of Fekete's lemma for subadditive functions on cancellative amenable semigroups

Tullio Ceccherini‐Silberstein, Fabrice Krieger외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 27.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 약간의 가환성 조건을 만족하는 왼쪽 애먼 세미군에서 유한 부분집합에 정의된 하향성, 오른쪽-하향성 함수에 대해 Fekete의 보조정리의 유사체를 수립하며, 정규화된 함수 값이 Følner 네트의 선택과 무관하게 한 가지 극한으로 수렴함을 증명한다. 주요 기여는 고전적인 하향성 결과를 수열에서 세미군 작용으로 확장함으로써, 이 일반화된 설정에서 위상적 및 측도론적 평균 차원과 엔트로피를 정의할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

We prove an analogue of Fekete's lemma for subadditive right-subinvariant functions defined on the finite subsets of a cancellative left-amenable semigroup. This extends results previously obtained in the case of amenable groups by E. Lindenstrauss and B. Weiss and by M. Gromov.

연구 동기 및 목표

• 가환성 있는 왼쪽-애먼 세미군의 유한 부분집합에 정의된 하향성, 오른쪽-하향성 함수로 Fekete의 보조정리를 수열에서 일반화한다.
• 왼쪽-Følner 네트에 대한 정규화된 하향성 함수의 극한이 존재하고, 그 값이 네트의 선택과 무관함을 확립한다.
• 이 결과를 이용하여 이러한 세미군 위에서의 동적 시스템에서 위상적 및 측도론적 평균 차원과 엔트로피를 정의한다.
• Lindenstrauss, Weiss, Gromov의 이전 결과를 애먼 군에서 가환성 있는 애먼 세미군으로 확장한다.

제안 방법

• 가환성 있는 왼쪽-애먼 세미군의 유한 부분집합에 하향성, 오른쪽-하향성 함수를 정의한다.
• 왼쪽-Følner 네트를 이용하여 정규화된 함수의 점근적 행동을 특성화한다.
• 애먼성과 가환성의 성질을 이용하여, 정규화된 함수 값이 네트의 선택과 무관하게 극한으로 수렴함을 증명한다.
• 개방 덮개와 가측 분할을 통한 위상적 및 측도론적 설정에서 수렴 결과를 적용한다.
• 유한 덮개/분할에 대한 정규화된 엔트로피의 상한으로서 위상적 평균 차원의 존재를 확립한다.
• 다양한 Følner 네트에 대해 극한이 불변임을 활용하여 엔트로피와 차원 정의의 강건성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Fekete의 보조정리는 가환성 있는 왼쪽-애먼 세미군에서 하향성, 오른쪽-하향성 함수로 확장 가능한가?
• RQ2 이러한 함수의 정규화된 값이 Følner 네트의 선택과 무관하게 극한으로 수렴하는가?
• RQ3 이 일반화된 Fekete 유형 결과는 세미군 위에서의 동적 시스템에서 평균 차원과 엔트로피를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ4 가환성 있는 왼쪽-애먼 세미군에서 정규화된 하향성 함수의 극한은 다양한 Følner 네트에 대해 불변인가?
• RQ5 일반화된 Fekete 보조정리는 기존의 애먼 군 작용에서의 엔트로피 및 차원 이론과 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 가환성 있는 왼쪽-애먼 세미군의 유한 부분집합에 정의된 정규화된 하향성, 오른쪽-하향성 함수의 극한은 존재하며 유한하다.
• 극한은 왼쪽-Følner 네트의 선택과 무관하여 점근적 값의 강건성을 보장한다.
• 이 결과는 유한 개방 덮개에 대한 정규화된 엔트로피의 상한으로서 위상적 평균 차원을 정의할 수 있도록 한다.
• 측도론적 엔트로피(Колмогоров-Синай 엔트로피)는 유한 가측 분할에 대한 정규화된 엔트로피의 상한으로 정의된다.
• 가환성과 왼쪽-애먼성의 조합된 가정 하에서 극한의 수렴성과 불변성이 성립한다.
• 이 프레임워크는 이전의 애먼 군에 대한 결과를 가환성 있는 애먼 세미군으로 일반화하여, 평균 차원과 엔트로피 이론의 적용 범위를 넓힌다.