[논문 리뷰] An elementary approach to the abelianization of the Hitchin system for arbitrary reductive groups

Roberto Scognamillo|ArXiv.org|1994. 12. 23.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 임의의 재수성 군 G에 대해, 종수 >1인 컴acts Riemann 곡면 C의 Galois 쌍대 덮개와 관련된 일반화된 Prym 다양체로 히친 시스템의 일반 섬유에 대한 유한 사상 F의 간단한 구성법을 제시한다. 핵심 결과는 G의 다인 다이어그램에 B_n 성분이 없거나 (G,G)가 단순 연결일 경우 F가 단사임을 보여주며, 이는 고전적 GL(2) 경우를 초월한 직접적인 아벨화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the moduli space of stable principal G-bundles over a compact Riemann surface C of genus >1, with G a reductive algebraic group. We explicitly construct a map F from the generic fibre of the Hitchin map to a generalized Prym variety associated to a suitable Galois covering of C. The map F has finite fibres. In case G=PGl(2) one can check that the generic fibre of F is a principal homogeneous space with respect to a product of 2d-2 copies of Z/2Z where d is the degree of the canonical bundle over C. However in case the Dynkin diagram of G does not contain components of type $B_{n}$ n>0, or when the commutator subgroup (G,G) is simply connected the map F is injective.

연구 동기 및 목표

• 임의의 재수성 군에 대해 히친 시스템의 일반 섬유에서 일반화된 Prym 다양체로의 명시적이고 간단한 사상 F를 구성하기.
• 아벨화를 통해 히친 시스템의 일반 섬유의 구조를 이해하기.
• 아벨화 사상이 단사이거나 유한한 섬유를 가지는 조건을 규명하기.
• 기존의 GL(2) 경우에 대한 결과를, 특히 (G,G)가 단순 연결인 경우에 대해 일반 재수성 군으로 확장하기.

제안 방법

• 재수성 군 G와 관련된 Riemann 곡면 C의 Galois 덮개를 구성하기.
• 덮개 곡선의 Jacobi안에서의 노름 사상의 핵으로서 일반화된 Prym 다양체를 정의하기.
• 히친 시스템의 일반 섬유에서 이 Prym 다양체로의 사상 F를 명시적으로 정의하기.
• 표현론적 및 기하학적 기법을 사용하여 F의 섬유를 분석하기.
• 일반적으로 F가 유한한 섬유를 가지며, G의 다인 다이어그램에 대한 특정 조건 또는 (G,G)의 단순 연결성 조건 하에서 F가 단사임을 증명하기.
• 정리 3.2(수정된 버전에서는 정리 3.1로 표기됨)의 증명을 재검토하고 일반 경우에 대한 정당성을 강화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 재수성 군에 대해, 히친 시스템에서 일반화된 Prym 다양체로의 아벨화 사상이 어떤 조건에서 단사일까?
• RQ2 히친 시스템의 일반 섬유의 섬유 구조는 관련된 Galois 덮개의 기하학과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 표현론적으로 볼 때, 히친 섬유에서 Prym 다양체로의 사상 F는 군 작용과 토르서의 관계에서 어떤 정밀한 성격을 가지는가?
• RQ4 아벨화 구성법을 GL(2) 이외의 모든 재수성 군에 대해 간단하고 통일적으로 만들 수 있는가?
• RQ5 특히, G의 다인 다이어그램에서 B_n 성분이 없는 것이 아벨화 사상의 단사성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 히친 시스템의 일반 섬유에서 일반화된 Prym 다양체로의 사상 F는 일반적으로 유한한 섬유를 가진다.
• G = PGL(2)일 경우, F의 일반 섬유는 Z/2Z의 2d−2개 복합체로 구성된 주 동형 공간이 된다. 여기서 d는 캐논리컬 번들의 차수이다.
• G의 다인 다이어그램에 n>0인 B_n 성분이 포함되어 있지 않으면, 사상 F는 단사이다.
• (G,G)가 단순 연결이면, 사상 F 역시 단사이다.
• 수정된 버전은 정리 3.2의 증명에 있어 상당한 개선을 포함하여 일반 경우에 대한 기초적 논증을 강화하였다.
• 이 구성법은 고전적 GL(2) 경우를 초월하여, 모든 재수성 군에 대해 통일적이고 간단한 아벨화 접근법을 제공한다.