[논문 리뷰] An example of failure of stochastic homogenization for viscous Hamilton-Jacobi equations without convexity

Jean-Baptiste Fermanian, Bruno Ziliotto외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 17.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 25인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 해밀턴 함수가 볼록성이 없을 경우 점성 허밀턴-자코비 방정식에서 확률적 동질화가 실패함을 보이며, 강한 안장점이 있는 2차원에서의 구체적 예를 제시한다. 이 경우 해밀턴 함수는 강한 강제성과 리프시츠 조건을 만족하며, 정적이고 에르고딕한 무작위 잠재력이 존재한다. 실패의 원인은 해밀턴 함수 내부의 엄격한 안장점으로, 이로 인해 효과적 해밀턴 함수를 정의할 수 없으며, 볼록성 조건 하에서 알려진 동질화 결과와 모순된다.

ABSTRACT

We give an example of the failure of homogenization for a viscous Hamilton-Jacobi equation with non-convex Hamiltonian.

연구 동기 및 목표

• 해밀턴 함수가 비볼록일 경우 점성 허밀턴-자코비 방정식에서 확률적 동질화가 성립하는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 비볼록성 조건 하에서 1차 방정식의 동질화 실패 결과를 점성 설정으로 확장하기 위해.
• 해밀턴 함수에 엄격한 안장점이 있고 정적·에르고딕한 무작위 잠재력이 존재하는 2차원에서의 구체적 반례를 구성하기 위해.
• 강제성, 유계성, 리프시츠 연속성 조건이 충족되더라도 비볼록성 조건 하에서 점성 경우에 효과적 해밀턴 함수가 정의될 수 없음을 보여주기 위해.
• 이전에 1차 설정에서 사용된 동적 게임 이론적 구성 방식이 점성 방정식의 비동질화를 증명하는 데 적응 가능함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 강제성과 점 $ p_0 $에서 엄격한 안장점을 가지며, $ c_\theta(x) $ 는 정적이고 에르고딕하며 유계적이며 1-리프시츠인 무작위 장인 형태의 해밀턴 함수 $ H(p,x,\theta) = h(p) - c_\theta(x) $ 를 구성한다.
• 무작위 테세레이션을 이용해 $ \mathbb{R}^2 $ 를 번갈아가며 부호가 다른 직사각형으로 분할함으로써 무작위 장 $ c_\theta(x) $ 를 정의하여, 에르고디시티와 정적 성질을 확보한다.
• 영점 합차 게임 표현 기반의 초해와 하한해를 이용해 장기 평균 해 $ u^\varepsilon $ 의 경계를 설정한다.
• 큰 수평 직사각형에서 $ c = -\frac{1}{2} $ 인 경우를 활용해, 수열 $ T_k $ 에서 $ -\frac{1}{2} + \eta $ 의 속도로 증가하는 초해 $ u^+ $ 를 구성한다.
• 대칭적인 하한해 $ u^- $ 는 $ 90^\circ $ 회전과 부호 반전을 이용해 구성되며, 양의 확률 집합에서 $ \limsup \frac{1}{T} u(T,0,\omega) \geq \frac{1}{2} - \eta $ 임을 보여준다.
• 비교 원리를 적용하여, 장기 평균이 실현값 $ \omega $ 에 따라 달라지므로 해가 결정론적 효과적 해밀턴 함수로 수렴할 수 없음을 결론 내린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀턴 함수가 비볼록일 경우 점성 허밀턴-자코비 방정식에서 확률적 동질화가 성립하는가?
• RQ2 1차 방정식에서 관찰된 동질화 실패 결과를 점성 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 비볼록 해밀턴 함수에 엄격한 안장점이 존재하는 특정 예시에서 점성 설정에서 동질화가 실패하는가?
• RQ4 1차 비볼록 설정에서 사용된 동적 게임 이론적 구성 방식이 점성 설정으로 확장되어 비동질화를 증명하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 점성 설정에서 효과적 해밀턴 함수의 존재를 방해하는 해밀턴 함수와 무작위 환경의 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 강제성, 리프시츠 연속성, 무작위 잠재력의 유계성 조건이 충족되더라도, 비볼록 해밀턴 함수에 엄격한 안장점이 존재할 경우 점성 허밀턴-자코비 방정식에서 동질화가 실패한다.
• 장기 평균 $ \frac{1}{T} u(T,0,\omega) $ 는 양의 확률 집합에서 $ \liminf \frac{1}{T} u(T,0,\omega) \leq -\frac{1}{2} + \eta $ 를 만족하고, 다른 집합에서는 $ \limsup \frac{1}{T} u(T,0,\omega) \geq \frac{1}{2} - \eta $ 를 만족함으로써 결정론적 극한으로 수렴하지 않음을 의미한다.
• 해의 점근적 행동이 무작위 환경 $ \omega $ 에 따라 달라지므로 효과적 해밀턴 함수 $ \bar{H} $ 는 존재하지 않으며, 이는 동질화의 조건을 위반한다.
• 이 구성은 $ \mathbb{R}^2 $ 에 대한 대칭적이고 무작위적인 테세레이션을 기반으로 하며, $ c = \pm \frac{1}{2} $ 로 번갈아가며 분할되어 잠재력 장의 정적 및 에르고딕 성질을 보장한다.
• 이 예시는 강건하고 일반화 가능하다: 임의의 $ n \geq 2 $ 에 대해, $ h(p) $ 가 강제성과 엄격한 안장점을 가지면, 동질화가 실패하는 무작위 잠재력 $ c(x) $ 가 존재한다.
• 실패의 원인은 $ h(p) $ 의 안장점과 무작위 환경 간의 상호작용으로, 해의 성장률이 무작위 장의 공간적 구성에 따라 달라져 결정론적 효과적 동역학이 나타나지 못하기 때문이다.