[논문 리뷰] An explicit theory of $\pi_1^\mathrm{un,crys}(\mathbb{P}^1 - \{0,\mu_{N},\infty\})$ - I-3 : The number of iterations of the Frobenius viewed as a variable

David Jarossay|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 28.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 16인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 0, ∞ 및 N제곱근의 단위근을 제외한 점들로 이루어진 막힌 사영선의 결정질 프로유니포텐트 기본군족에 대한 명시적 이론을 수립한다. 프로베니우스 반복 횟수를 p진 변수로 간주함으로써, 관련된 주기—즉, 순환 p진 다중 제타 함수 값—을 계산하고, 이전의 구성들과는 다름없는 새로운 조화 이하라 유형의 작용을 도입함으로써, 프로베니우스 불변 경로의 간접적 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let $X_{0}$ be a curve $ ext{ }\mathbb{P}^{1} - (\{0,\infty\} \cup \mu_{N}) ext{ }/ ext{ }\mathbb{F}_{q}$, with $N \in \mathbb{N}^{\ast}$ and $\mathbb{F}_{q}$ of characteristic $p$ prime to $N$ and containing a primitive $N$-th root of unity. We establish an explicit theory of the crystalline pro-unipotent fundamental groupoid of $X_{0}$. In this part I, we compute explicitly the Frobenius and in particular the periods associated with it, i.e. cyclotomic $p$-adic multiple zeta values. In I-1 and I-2 the number of iterations of the Frobenius was a fixed integer $\alpha \in \mathbb{N}^{\ast}$. In this I-3, we study how the Frobenius depends on $\alpha$ viewed as a $p$-adic variable. One of the applications is to obtain a natural indirect computation of the variant of cyclotomic $p$-adic multiple zeta values that expresses the Frobenius-invariant path at $(\vec{1}_{1},\vec{1}_{0})$. The results are expressed by defining a counterpart of the harmonic Ihara action which is different from the two ones defined in I-2.

연구 동기 및 목표

• 결정질 프로유니포텐트 기본군족 이론을 확장하여 반복 횟수를 p진 변수로 간주할 수 있도록 한다.
• 반복 횟수를 p진 수학적 의미에서 변수로 간주할 때, 프로베니우스 연산자와 관련된 주기를 계산한다.
• 접선 기저점 (1̲₁, 1̲₀)에서의 프로베니우스 불변 경로를 자연스럽게 간접적으로 계산할 수 있도록 한다.
• 이전의 연구들과는 다름없는 새로운 조화 이하라 작용의 대응체를 정의하여, 이 변수 설정 하에서 프로베니우스 작용을 묘사한다.

제안 방법

• X₀ = P¹ − {0, ∞} ∪ μ_N 에 대한 결정질 프로유니포텐트 기본군족의 맥락에서 프로베니우스 연산자를 분석한다.
• 이전에는 자연수 α ∈ ℕ*로 고정되어 있던 프로베니우스 반복 횟수를 이제 p진 변수로 간주한다.
• 이 변수 프레임워크 내에서 프로베니우스 작용과 관련된 주기를 순환 p진 다중 제타 함수 값으로 계산한다.
• I-2에서의 것들과 다름없는 새로운 조화 이하라 유형의 작용을 구성하여, 프로베니우스 작용이 p진 반복 변수에 어떻게 의존하는지를 표현한다.
• 이론은 막힌 사영선의 기하학과 F_q 내에 원시 N제곱근이 존재한다는 사실을 활용한다.
• 결정적 코homology와 프로유니포텐트 기본군족을 사용하여, 단순히 몰로드로미와 프로베니우스 구조를 명시적으로 묘사하는 프레임워크를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프로베니우스 작용이 결정질 프로유니포텐트 기본군족에 대해 반복 횟수를 p진 변수로 간주할 때 어떻게 의존하는가?
• RQ2 이 변수 프로베니우스에 관련된 명시적 주기는 무엇인가? 특히 순환 p진 다중 제타 함수 값은 무엇인가?
• RQ3 접선 기저점 (1̲₁, 1̲₀)에서의 프로베니우스 불변 경로는 이 변수 프레임워크를 통해 간접적으로 계산될 수 있는가?
• RQ4 이 새로운 조화 이하라 유형의 작용은 I-2에서 이전에 정의된 두 가지와 어떻게 다를까?
• RQ5 이 맥락에서 프로베니우스 반복 횟수를 p진 변수로 간주하는 것은 기하학적·산술적으로 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 논문은 I-2에서 이전에 정의된 두 가지와 다름없는 새로운 조화 이하라 유형의 작용을 구성하여, 프로베니우스 작용을 위한 새로운 프레임워크를 제공한다.
• 이 변수 반복 설정 하에서 프로베니우스 연산자와 관련된 주기는 명시적으로 순환 p진 다중 제타 함수 값으로 계산된다.
• 접선 기저점 (1̲₁, 1̲₀)에서의 프로베니우스 불변 경로는 변수 반복 접근법에 의해 가능해진 간접 계산을 통해 확보된다.
• 이론은 프로베니우스 작용이 반복 횟수를 나타내는 p진 변수에 어떻게 의존하는지 명시적으로 묘사한다.
• 결과는 p ∤ N 이고 F_q 가 원시 N제곱근을 포함한다는 조건 하에서 유효한 결정적 코homology와 프로유니포텐트 기본군족의 용어로 표현된다.
• 주기의 명시적 계산과 새로운 작용은 이 수학적 맥락에서 몰로드로미와 프로베니우스 구조에 대한 더 깊은 이해를 제공한다.