[논문 리뷰] An explicit theory of $\pi_{1}^{\un,\crys}(\mathbb{P}^{1} - \{0,\mu_{N},\infty\})$ - II-2 : From standard algebraic relations of weighted multiple harmonic sums to those of cyclotomic $p$-adic multiple zeta values

David Jarossay|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 06.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 명시적 공식과 조화 Ihara 작용을 통해 순환 p진 다중 리만 제타 함수값의 대수적 관계를 가중 다중 조화 합의 관계와 연결하여 순환 p진 다중 리만 제타 함수값의 명시적 이론을 수립한다. 논문은 Besser-Furusho-Jafari 정리의 두 가지 '조화' 형태를 증명하여, p진 다중 리만 제타 함수값의 이중 셔플 관계가 프로베니우스 작용과 비교 사상과 호환됨을 보이며, 이는 조화 합과 수렴 초월 하이퍼로그를 통한 쿼اسي셔플 관계의 명시적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

Let $X_{0}=\mathbb{P}^{1} - (\{0,\infty\} \cup \mu_{N}) ext{ }/ ext{ }\mathbb{F}_{q}$, with $N \in \mathbb{N}^{\ast}$ and $\mathbb{F}_{q}$ of characteristic $p>0$ and containing a primitive $N$-th root of unity. We establish an explicit theory of the crystalline pro-unipotent fundamental groupoid of $X_{0}$. In part I, we have computed explicitly the Frobenius, and in particular cyclotomic $p$-adic multiple zeta values. In part II, we use part I to understand the algebraic relations of cyclotomic $p$-adic multiple zeta values via explicit formulas ; this is in particular a study of the harmonic Ihara actions and the maps of comparisons between them introduced in I-2 and I-3. In II-1, we have developed the basics of algebraic theory of cyclotomic sequences of prime weighted multiple harmonic sums and adjoint cyclotomic multiple zeta values viewed as variants of those of the algebraic theory of cyclotomic multiple zeta values. In this II-2, we use part I and II-1 to show that one can read some standard algebraic relations of cyclotomic $p$-adic multiple zeta values via the explicit formulas and via the standard algebraic relations of sequences of multiple harmonic sums. This amounts to say that the harmonic Ihara actions and the comparison maps are compatible with algebraic relations. The two main results are two "harmonic" versions of Besser-Furusho-Jafari's theorem that $p$-adic multiple zeta values satisfy the regularized double shuffle relations. This gives two different answers to what we could call "the adjoint variant" of a question of Deligne and Goncharov about reading the quasi-shuffle relation of $p$-adic multiple zeta values via explicit formulas.

연구 동기 및 목표

• 조화 Ihara 작용과 비교 사상을 사용하여 순환 p진 다중 리만 제타 함수값의 명시적 대수적 이론을 수립하기.
• 표준적인 대수적 관계—특히 이중 셔플 관계—가 가중 다중 조화 합의 관계로부터 회복될 수 있음을 보여주기.
• 수렴 초월 p진 하이퍼로그의 맥락에서 조화 Ihara 작용과 비교 사상 간의 대수적 관계에 대한 호환성을 보여주기.
• 결정적 프로유니폴러 fundamental groupoid 위에서의 프로베니우스 작용에 대한 명시적 공식을 제공하여 대수적 구조의 전달 가능성을 확보하기.
• Deligne와 Goncharov의 질문에서 '첨자 변형'을 명시적 공식을 통해 해결하고, 조화 이론을 통해 쿼اسي셔플 관계를 실현하기.

제안 방법

• 결정적 기본군oid 위에서의 프로베니우스 작용으로부터 유도된 순환 p진 다중 리만 제타 함수값의 명시적 공식을 활용한다.
• 조화 Ihara 작용(◦har)과 비교 사상(Σ)을 적용하여 다중 조화 합의 대수적 구조와 p진 제타 함수값의 대수적 구조를 연결한다.
• 조화 Ihara 작용을 위한 토르서를 사용하여 다양한 프레임워크(DR, DR-RT, RT) 간의 대수적 관계의 반사 구조를 연구한다.
• 프로베니우스 반복을 통해 정의된 수렴 초월 p진 하이퍼로그 Li†p,α를 사용하여 셔플 곱의 구조를 모델링한다.
• har†p,αn(w) = n−weight(w) × [z^n]Li†p,α(w)라는 명시적 공식을 적용하여 조화 합과 p진 제타 함수값을 연결한다.
• Li†p,α의 셔플 관계가 프로베니우스 호환성에 의해 harn과 ζp,α의 셔플 관계와 동치임을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순환 p진 다중 리만 제타 함수값의 표준적인 대수적 관계가 가중 다중 조화 합의 관계로부터 명시적으로 회복될 수 있는가?
• RQ2 조화 Ihara 작용과 비교 사상은 p진 제타 함수값의 맥락에서 대수적 관계와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ3 p진 다중 리만 제타 함수값의 이중 셔플 관계가 프로베니우스 작용과 명시적 공식과 얼마나 호환되는가?
• RQ4 p진 다중 리만 제타 함수값의 쿼اسي셔플 관계는 조화 합과 수렴 초월 하이퍼로그를 통해 명시적으로 실현될 수 있는가?
• RQ5 순환 p진 다중 리만 제타 함수값에 대해 Besser-Furusho-Jafari 정리의 조화 이론적 해석이 존재하는가?

주요 결과

• 논문은 Besser-Furusho-Jafari 정리의 두 가지 '조화' 형태를 증명하여, 순환 p진 다중 리만 제타 함수값이 명시적 공식을 통해 이중 셔플 관계를 만족함을 수립한다.
• 조화 Ihara 작용과 비교 사상이 대수적 관계와 호환됨이 입증되었으며, 이는 관계의 구조가 이러한 사상 아래에서도 유지됨을 의미한다.
• 수렴 초월 p진 하이퍼로그 Li†p,α의 셔플 관계는 명시적인 커플링 항등식으로 실현된다: ∑_{m=1}^{n-1} har†p,αm(w) har†p,αn−m(w′) = har†p,αn(w x w′).
• 명시적 공식 har†p,αn(w) = n−weight(w) × [z^n]Li†p,α(w)는 p진 조화 합과 p진 제타 함수값의 생성함수를 연결한다.
• 기본군oid 위에서의 프로베니우스 작용은 조화 합에 대해 호환되는 구조를 유도하며, 이는 harn의 대수적 관계가 ζp,α로 올라감을 보장한다.
• 생성함수 Φp,α는 셔플 관계를 만족하며, 이는 harn과 ζp,α의 셔플 관계와 동치임을 확인하여 명시적 프레임워크의 일관성을 입증한다.