[논문 리뷰] An index theorem for CR manifolds with $S^1$ action

Jih-Hsin Cheng, Chin-Yu Hsiao외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 31.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $2n+1$ 차원의 컴팩트 CR 다중체에 대해 전이성이고 국소적으로 자유로운 $S^1$ 작용과 강성 있는 CR 벡터(bundle) $E$를 지닌 경우의 인덱스 정리를 수립한다. 이는 $\bar\partial_b$-코호몰로지 군의 $m$-번째 푸리에 성분의 오일러 특성수를 $E$의 접선 셰인 특성, $T^{1,0}X$의 접선 토드 클래스, 레비 곡률의 셰인 다항식으로 표현하며, CR 함수와 섹션의 구축을 가능하게 하고 카와사키의 오비폴드 인덱스 공식의 기하학적 재해석을 제공한다.

ABSTRACT

Let $(X, T^{1,0}X)$ be a compact CR manifold of dimension $2n+1$ with a transversal CR locally free $S^1$ action and let $E$ be a rigid CR vector bundle over $X$. For every $m\in\mathbb Z$, let $H^j_{b,m}(X,E)$ be the $m$-th $S^1$ Fourier coefficient of the $j$-th $\ddbar_b$ Kohn-Rossi cohomology group with values in $E$. In this paper, we prove that the Euler characteristic $\sum\limits^n_{j=0}(-1)^j{ m dim}H^j_{b,m}(X,E)$ can be computed in terms of the tangential Chern character of $E$, the tangential Todd class of $T^{1,0}X$, and the Chern polynomial of the Levi curvature of $X$. As applications, we can produce many CR functions on a weakly pseudoconvex CR manifold with such an $S^1$ action and many CR sections on some class of CR manifolds. In some cases, we can reinterpret Kawasaki's Hirzebruch-Riemann-Roch formula for a complex orbifold with an orbifold holomorphic line bundle by an integral over a smooth CR manifold.

연구 동기 및 목표

• CR 다중체에 $S^1$ 작용이 있는 경우 $\bar\partial_b$-코호몰로지의 $m$-번째 푸리에 성분의 오일러 특성수에 대한 계산 가능한 공식을 유도하는 것.
• CR 불변량과 특성류 사이의 관계를 수립하는 것. 이는 $E$의 접선 셰인 특성, $T^{1,0}X$의 접선 토드 클래스, 레비 곡률의 셰인 다항식 포함.
• 이 인덱스 정리를 이용해 약한 편평한 강성 있는 CR 다중체에 $S^1$ 작용이 있는 경우 비자명한 CR 함수를 구축하는 것.
• 이 인덱스 정리를 통해 부드러운 CR 다중체 위에서 적분을 수행하여 카와사키의 복소 오비폴드에 대한 히르체브루흐-리만-로흐 공식을 재해석하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $E$ 값을 갖는 $j$-번째 $\bar\partial_b$-코호몰로지 군의 $m$-번째 $S^1$ 푸리에 계수인 $H^j_{b,m}(X,E)$를 분석한다.
• 인덱스 공식의 중심적인 특성류로 $E$의 접선 셰인 특성과 헬름홀츠 탄성 접선 벡터 장 $T^{1,0}X$의 접선 토드 클래스를 활용한다.
• 레비 곡률은 그 셰인 다항식을 통해 표현되며, 이는 인덱스 표현식에 기여한다.
• 인덱스 정리는 특성류를 포함하는 전역 적분으로 표현되는 오일러 특성수 $\sum_{j=0}^n (-1)^j \dim H^j_{b,m}(X,E)$를 기술한다.
• 이 방법은 $S^1$ 작용의 수직성과 강성에 기반하여 문제를 특성류 계산으로 단순화한다.
• CR 구조와 $S^1$-등변성의 특성을 활용하여 코호몰로지 불변량을 기하학적 자료와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CR 다중체에 $S^1$ 작용이 있는 경우, $\bar\partial_b$-코호몰로지의 $m$-번째 푸리에 성분의 오일러 특성수는 어떤 식으로 특성류로 표현될 수 있는가?
• RQ2 접선 셰인 특성 $E$와 $T^{1,0}X$의 접선 토드 클래스는 이 인덱스 계산에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 이 인덱스 공식을 이용해 약한 편평한 강성 있는 CR 다중체에 $S^1$ 작용이 있는 경우 비자명한 CR 함수를 구축할 수 있는가?
• RQ4 이 인덱스 정리를 통해 카와사키의 복소 오비폴드에 대한 히르체브루흐-리만-로흐 공식은 어느 정도까지 부드러운 CR 다중체 위의 적분을 통해 재구성될 수 있는가?
• RQ5 레비 곡률의 셰인 다항식은 인덱스 계산에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 오일러 특성수 $\sum_{j=0}^n (-1)^j \dim H^j_{b,m}(X,E)$는 $E$의 접선 셰인 특성, $T^{1,0}X$의 접선 토드 클래스, 레비 곡률의 셰인 다항식을 포함하는 전역 적분으로 계산된다.
• 이 인덱스 공식은 전이성 $S^1$ 작용이 있는 약한 편평한 강성 있는 CR 다중체에서 많은 CR 함수의 구축을 가능하게 한다.
• 이 공식은 코호몰로지 차원의 인덱스 이론적 제어를 통해 특정 클래스의 CR 다중체에서 다수의 CR 섹션을 생성할 수 있게 한다.
• 특정 경우에, 카와사키의 복소 오비폴드에 대한 히르체브루흐-리만-로흐 공식은 이 인덱스 정리를 통해 부드러운 CR 다중체 위의 적분으로 재해석될 수 있다.
• 결과적으로 이 정리는 특성류 이론을 통해 오비폴드 인덱스 이론과 부드러운 CR 기하학 사이의 기하학적 다리를 제공한다.
• 이 정리는 CR 다중체의 $S^1$-등변 코호몰로지와 CR 구조 및 벡터 번들의 데이터로부터 유도된 특성류 사이의 정확한 연결 고리를 확립한다.