[논문 리뷰] An inductive-recursive universe generic for small families

Daniel Gratzer|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 11.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 관측형 타입 이론(TT obs)과 포함형 타입 생성자를 지원하는 그로텐디크 토포스에서 일반적인 인덕티브-레커르시브 유니버스 구성을 제시한다. 작은 인덕티브-레커르시브 정의와 엄격한 타르스키 스타일의 유니버스, 그리고 업 레벨 전환 연산을 사용하여, 작은 가족들에 대해 누적성과 일반성을 보장함으로써 TT obs를 다양한 카테고리컬 모델에서 사용 가능한 내부 언어로 만들 수 있다.

ABSTRACT

We show that it is possible to construct a universe in all Grothendieck topoi with injective codes a la Pujet and Tabareau which is nonetheless generic for small families. As a trivial consequence, we show that their observational type theory admits interpretations in Grothendieck topoi suitable for use as internal languages.

연구 동기 및 목표

• 표준 집합론적 모델에서 관측형 타입 이론(TT obs)의 포함형 타입 생성자 간의 의미론적 불일치 문제를 해결하기 위해.
• 작은 가족들에 대해 일반성을 유지하면서 TT obs를 임의의 그로텐디크 토포스로 확장하기 위해, 작은 가족들에 대해 일반성을 유지하는 유니버스를 구성하기 위해.
• 소규모 인덕티브-레커르시브 유니버스와 엄격한 타르스키 스타일의 인코딩이 복잡한 카테고리컬 환경에서 누적성과 내부 타입 이론을 지원할 수 있음을 보여주기 위해.
• 표준 인덕티브-레커르시브 유니버스 구조가 상대적으로 κ-콤���한 가족들에 대해 일반성을 유지하도록 어떻게 수정할 수 있는지 보여주기 위해.

제안 방법

• 그로텐디크 토포스에서 작은 인덕티브-레커르시브 정의를 사용하여 유니버스 V_i를 구성함과 동시에, 타입 가족 A:U_1과 디코딩 함수 r:El_V_i(A) → type을 동시에 정의한다.
• 유니버스 수준 간의 엄격한 누적성을 보장하기 위해, 타입 A를 더 높은 유니버스의 코드로 매핑하는 업 레벨 전환 연산 'up'을 도입한다.
• 명시적인 디코딩 함수 El을 갖는 타르스키 스타일의 유니버스를 사용하여, Π 및 Σ 타입 생성자들이 코드와 함께 등급형 이소모르피즘을 유지하도록 보장한다.
• 표준 인덕티브-레커르시브 유니버스를 수정하여, 작은 가족, 특히 상대적으로 κ-콤팩트 가족들에 대해 유니버스가 여전히 일반성을 유지하도록 보장한다.
• 일반화된 대수적 이론 프레임워크를 적용하여, 일관성과 부분적 해석 문제로부터 추상화한다.
• '업' 구조를 사용하여 하위 수준의 타입을 더 높은 유니버스로 통합함으로써, 타입의 구조를 유지하고 엄격한 계층을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그로텐디크 토포스에서 TT obs가 요구하는 포함형 타입 생성자를 지원하는 인덕티브-레커르시브 유니버스를 구성할 수 있는가?
• RQ2 카테고리컬 모델에서 누적성을 유지하면서 작은 가족들에 대해 유니버스를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 소규모 인덕티브-레커르시브와 타르스키 스타일의 유니버스를 사용하여 TT obs에서 엄격한 누적 계층을 달성할 수 있는가?
• RQ4 결과로 도출된 유니버스 구조가 임의의 그로텐디크 토포스에서 사용 가능한 내부 언어로 기능할 수 있는가?
• RQ5 표준 인덕티브-레커르시브 유니버스에 어떤 수정을 가해야 상대적으로 κ-콤팩트한 가족들에 대해 일반성이 유지되는가?

주요 결과

• 표준 집합론적 모델에서 발생하는 의미론적 문제를 해결하기 위해, 임의의 그로텐디크 토포스에서 포함형 타입 생성자를 지원하는 작은 인덕티브-레커르시브 유니버스를 구성할 수 있다.
• 이 구조는 작은 가족, 특히 상대적으로 κ-콤팩트한 가족들에 대해 여전히 일반성을 유지함으로써 내부 타입 이론에 필수적인 조건을 충족시킨다.
• 엄격한 타르스키 스타일의 유니버스와 '업' 전환 연산을 사용함으로써, 결정 가능성을 보장하는 엄격한 누적 계층을 구현할 수 있다.
• 모델은 모든 필수 타입 생성자 이소모르피즘을 만족하여, Π 및 Σ 타입이 코드 디코딩을 통해 정확하게 해석됨을 보장한다.
• 이 방법은 TT obs를 임의의 그로텐디크 토포스에서 해석할 수 있게 하여, 다양한 카테고리컬 설정에서 사용 가능한 내부 언어로 자리매김한다.
• 이 방법은 [PT22]의 구조를 모든 그로텐디크 토포스로 일반화하여, 기존의 세트로드 모델을 넘어서 적용 범위를 넓힌다.