[논문 리뷰] An introduction to the categorical p-adic Langlands program

Matthew Emerton, Toby Gee외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 04.

advanced mathematical theories인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 Langlands 프로그램의 범주론적 접근을 제안하며, $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 모듈리 스택과 유도 대수기하학을 통해 바나흐 및 해석적 설정을 통합한다. 안정적 $\infty$-범주와 유도 표현 스택을 통한 $p$-진 갈루아 표현과 자동형 양식 사이의 프레임워크를 수립하며, $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$에서의 핵심 결과와 시무라 다양체의 코homology에 대한 글로벌 응용이 포함되어 있다.

ABSTRACT

We give an introduction to the "categorical" approach to the p-adic Langlands program, in both the "Banach" and "analytic" settings.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 및 해석적 설정을 통합하는 $p$-진 Langlands 상응관계의 범주론적 프레임워크를 개발한다.
• $p$-진 호드지 이론에서 유도 및 범주론적 구조로의 타일러–와일즈 패치 방법을 확장한다.
• 안정적 $\infty$-범주와 유도 모듈리 스택을 통해 갈루아 표현과 자동형 양식을 연결한다.
• 글로벌 범주론적 Langlands 함자를 이용한 모듈리 스택과 유도 층 이론을 통해 시무라 다양체의 코homology를 계산한다.
• 유도 표현 스택의 코탄제ント 복합체를 통한 군 코hom로의 유도적 해석을 수립한다.

제안 방법

• 해석적 설정에서 로바 바 링 위의 $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 모듈리 스택과 바나흐 대수 위의 바나흐 설정에서의 모듈리 스택을 구성한다.
• 갈루아 군의 단순 복합체 해상법을 사용하여 코탄제ント 복합체 $\mathbf{L}_{\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}},\rho} = C^{\bullet}(\Gamma,\mathrm{Ad}\rho)^*[-1]$ 를 가진 유도 표현 스택 $\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}}$ 를 정의한다.
• 유도 대수기하학을 적용하여 군 코hom로의 유도 탄성 공간과 준매끄러움을 해석한다.
• 안정적 $\infty$-범주와 인도-대수적 스택 위의 인도-일관 층을 사용하여 범주론적 상응관계를 형식화한다.
• 모리타 이론과 형식 스택 위의 프로-일관 층을 활용하여 히케 대수와 글로벌 자동형 양식을 연결한다.
• 파르그스–슐체 추측과 $C$-군 구성법을 적용하여 $\ell \neq p$ Langlands 매개변수를 $p$-진 대상과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $(\varphi,\Gamma)$-모듈을 사용하여 $p$-진 Langlands 상응관계를 범주론적 및 유도적 프레임워크로 재정의할 수 있는가?
• RQ2 갈루아 표현의 모듈리 스택의 유도적 구조는 무엇이며, 군 코호몰로지와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 에이전드바리티와 오버컨버젠틱 $p$-진 자동형 양식은 어떻게 범주론적 Langlands 함수로부터 유도되는가?
• RQ4 유도 표현 스택은 $\mathrm{GL}_2$의 국지 및 글로벌 Langlands 상응관계를 어떻게 캡슐화하는가?
• RQ5 글로벌 Langlands 매개변수의 모듈리 스택과 유도 층 이론을 통해 시무라 다양체의 코homology는 어떻게 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 유도 표현 스택 $\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}}$ 는 코탄제ント 복합체 $\mathbf{L}_{\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}},\rho} = C^{\bullet}(\Gamma,\mathrm{Ad}\rho)^*[-1]$ 를 가지며, 갈루아 코호몰로지와 유도 기하학을 연결한다.
• $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 에서, 범주론적 $p$-진 국지 Langlands 상응관계는 준직교 분해와 $(\varphi,\Gamma)$-모듈의 유도 범주를 통해 실현된다.
• 모듈리 스택 $\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}}$ 는 $H^i(\Gamma,\mathrm{Ad}\rho) = 0$ for $i > 2$ 일 때 $\rho$ 근처에서 준매끄럽다. 이는 국소적으로 유도 완전교차 구조를 뜻한다.
• 글로벌 경우, $\mathrm{Sh}_{\mathrm{GL}_2, \mathbb{Q}, S}^{\mathrm{odd}}$ 의 코homology 는 글로벌-국소 사상과 오버컨버젠틱 $p$-진 자동형 양식의 에이전드바리티를 통해 계산된다.
• $\mathcal{X}_{\Gamma_{\bullet}}$ 의 구조는 단순 복합체 해상법 $\Gamma_{\bullet}$ 의 선택과 무관하여, $\infty$-범주론적 프레임워크 내에서 잘 정의됨을 보장한다.
• 이 프레임워크는 모듈리 스택 위의 층에 대한 안정적 $\infty$-범주 간의 함수로서 $p$-진 Langlands 상응관계를 실현하며, 푸앵카레–마주르 추측에의 응용이 있다.