[논문 리뷰] An inverse problem for distributed order time-fractional diffusion equations

Zhiyuan Li, Fujishiro, Kenichi외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 09.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 분포형 시간 분수 미분 방정식에서 단일 점 관측 u(x₀,t)에 기반하여 가중치 함수 μ(α)를 역문제로 규명하는 것을 조사한다. 고유함수 전개와 라플라스 변환 기법을 활용하여 저자들은 주파수 도메인에서 히르누아르드 유형 부등식을 수립하고, μ가 유한한 진동 함수임을 가정할 경우 μ의 유일성을 증명함으로써, 이 설정에서 처음으로 역문제를 해결한다.

ABSTRACT

This paper deals with the distributed order time-fractional diffusion equations with non-homogeneous Dirichlet (Nuemann) boundary condition. We first prove the wellposedness of the weak solution to the initial boundary value problem for the distributed order time-fractional diffusion equation by means of eigenfunction expansion, which ensure that the weak solution has the classical derivatives. We next give a Harnack type inequality of the solution in the frequency domain under the Laplace transform, from which we further show a uniqueness result for an inverse problem in determining the weight function in the distributed order time derivative from point observation.

연구 동기 및 목표

• 분포형 시간 분수 미분 방정식의 초기경계값 문제에 대한 약한 해의 잘 정의됨을 확립한다. 이때 경계 조건은 비동차 딜레르흐 또는 뉴먼 조건을 포함한다.
• 점 관측 u(x₀,t)에 기반하여 [0,1]에서의 가중치 함수 μ(α)를 규명하는 역문제를 조사한다.
• μ가 유한한 진동 함수임을 가정할 경우 역문제의 해의 유일성을 증명한다.
• 유일성 증거를 뒷받침하기 위해 라플라스 주파수 도메인에서 해에 대한 히르누아르드 유형 부등식을 개발한다.

제안 방법

• 약한 해의 표현 공식을 유도하고 수렴성 및 정규성을 확립하기 위해 고유함수 전개를 활용한다.
• 시간 분수 편미분방정식을 주파수 도메인의 타원형 방정식으로 변환하기 위해 라플라스 변환을 적용한다.
• 해의 행동을 주파수 도메인에서 제어하기 위해 변환된 해에 대한 히르누아르드 유형 부등식을 수립한다.
• 타원형 방정식에 대한 강한 최대원리를 기반으로 한 모순 증명을 통해 μ의 유일성을 증명한다.
• 라플라스 변환 기반의 증명 적용 가능성을 보장하기 위해 μ가 유한한 진동 함수임을 조건으로 둔다.
• 단일 점 x₀에서 동일한 라플라스 변환은 변환된 해의 동일성을 암시하므로, μ = μ̃가 도출된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분포형 시간 분수 미분 방정식에서 가중치 함수 μ(α)는 단일 점 관측 u(x₀,t)에 기반하여 (0,T)에서 유일하게 규명될 수 있는가?
• RQ2 μ(α)에 대한 어떤 조건이 분포형 설정에서 역문제의 유일성을 보장하는가?
• RQ3 라플라스 변환은 분포형 도함수를 갖는 시간 분수 확산 방정식의 역문제 분석에 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ4 주파수 도메인에서의 히르누아르드 유형 부등식은 분수 확산에서의 역문제에 대한 유일성을 어떻게 지원하는가?
• RQ5 강한 최대원리는 변환된 타원형 시스템에 적용되어 유일성 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 가정 하에 분포형 시간 분수 미분 방정식의 초기경계값 문제에 대한 약한 해는 존재하며, 잘 정의되어 있으며, 고전적 도함수를 갖는다.
• 라플라스 주파수 도메인에서 해에 대한 히르누아르드 유형 부등식이 수립되었으며, 이는 유일성 증명에 핵심적이다.
• μ가 유한한 진동 함수의 허용 집합에 속할 경우, 단일 점 관측 u(x₀,t)에 기반하여 가중치 함수 μ(α)의 유일성이 증명된다.
• 증명은 모순에 기반한다: μ ≠ μ̃이면, x₀에서의 해의 라플라스 변환은 다를 것이며, 이는 관측 데이터와 모순된다.
• 유사한 라플라스 변환과 강한 최대원리의 논증을 통해 딜레르흐 및 뉴먼 경계 조건 모두에 동일하게 적용 가능하다.
• 일반적인 μ가 유한한 진동 함수 집합에 속하지 않을 경우, 특히 데이터가 (0,∞)가 아니라 (0,T)로 제한된 경우 결과는 여전히 열려있다.