[논문 리뷰] An l^{p}-Version of von Neumann Dimension for Representations of Equivalence Relations

Ben Hayes|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 10.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $l^p$-버전의 본 네umann 차원을 이산적이고 측도를 보존하며 소픽인 동치 관계의 표현에 대해 도입하여 고전적인 $l^2$-차원 프레임워크를 확장한다. 동치 사상에서 이미지가 밀도가 있는 경우의 불변성을 확립하고, $1 \leq p \leq 2$ 일 때 $L^p(\mathcal{R},\overline{\mu})^{\oplus n}$의 차원을 계산하며, 유한한 표현 조건 하에서 첫 번째 $l^2$-베티 수의 $l^p$-해석을 정의하여 코스트-$l^2$-베티 수 추측을 탐구하는 데 새로운 도구를 제공한다.

ABSTRACT

In our previous paper, "l^{p}-Version of von Neumann Dimension for Banach Space Representations of Sofic Groups," we define an extended version of von Neumann dimension for actions of a sofic group on a Banach space. This dimension was studied especially for the translation action of G on l^{p}(G), as well as the multiplication on the non-commutative L^{p} space associated with the group von Neumann algebra. We discuss how one can similarly define an extended dimension for representations of an equivalence relation. We also define an analogue of l^{2}-Betti numbers for equivalence relations in the l^{p}-case, this may shed some light on the conjectured relation between cost and first l^{2}-Betti number.

연구 동기 및 목표

• 이산적이고 측도를 보존하며 소픽인 동치 관계의 $l^p$-표현에 대해 본 네umann 차원 이론을 $1 \leq p \leq 2$ 에 대해 확장한다.
• 유한한 표현 조건 하에서 동치 관계에 대해 첫 번째 $l^2$-베티 수의 $l^p$-해석을 정의한다.
• 이 $l^p$-불변량과 코스트와 $l^2$-베티 수 사이의 추측된 등식(cost = $\beta_1 + 1$) 간의 관계를 조사한다.
• 이so매핑이 밀도가 있는 이미지를 가지는 경우 $l^p$-차원의 불변성을 확립하여 이는 표현의 이so매핑 불변량이 된다.

제안 방법

• [13]의 방법을 적응하여 소픽 동치 관계의 $L^p$-표현에 대해 확장된 본 네umann 차원을 정의한다.
• 직접 적분 분해와 이산 허지 분해를 사용하여 그래피팅 $\Phi$와 관련된 $l^p$-코homology 공간 $H_1^{(p)}(\Phi)$를 분석한다.
• 소픽 동치 관계에 대한 $\Sigma$-차원 이론을 적용하여 $\mathcal{R}$-모듈에 대해 $\dim_{\Sigma,l^p}$ 및 $\underline{\dim}_{\Sigma,l^p}$를 정의한다.
• 점근 수렴을 제어하고 비가역적 설정에서 모순을 이끌어내기 위해 도미네이팅 수렴 정리와 측도 이론적 추정을 적용한다.
• $L^p(E(\Phi)) / B_1^{(p)}(\Phi)$의 구조와 그 분해인 $L^p(\mathcal{R}_A, \overline{\mu}) \oplus H_1^{(p)}(\Phi_0)$를 이용하여 $c_1^{(p)}$에 대한 하한을 증명한다.
• 트리잉인 $\mathbb{F}_n$의 그래피팅 $\Phi$에 대해 $L^p(\mathcal{R}, \overline{\mu})^{\oplus n}$이 $L^p(E(\Phi))$와 이소매핑임을 이용하여 차원을 명시적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 의미 있는 $l^p$-버전의 본 네umann 차원이 소픽 동치 관계의 표현에 대해 정의될 수 있는가? 이는 $l^2$-경우를 일반화하는가?
• RQ2 이 $l^p$-차원은 약한 이소매핑 또는 이미지가 밀도가 있는 동치 사상 하에서도 불변하는가?
• RQ3 $1 \leq p \leq 2$ 일 때 $L^p(\mathcal{R}, \overline{\mu})^{\oplus n}$의 $l^p$-차원은 얼마인가?
• RQ4 유한한 표현 조건을 만족하는 동치 관계에 대해 첫 번째 $l^2$-베티 수의 $l^p$-해석을 정의할 수 있는가?
• RQ5 $l^p$-코homology 차원은 추측된 항등식 $\text{cost}(\mathcal{R}) = \beta_1^{(2)}(\mathcal{R}) + 1$과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• $1 \leq p \leq 2$ 일 때 $L^p(\mathcal{R}, \overline{\mu})^{\oplus n}$의 $l^p$-차원은 $n$ 과 같다. 이는 고전적인 $l^2$-차원 결과를 확장한다.
• $l^p$-차원은 이미지가 밀도가 있는 동치 사상 하에서 감소하며, 따라서 표현의 이소매핑 불변량이다.
• $\mathbb{F}_n$의 자유 작용에 대해 $l^p$-코homological 차원 $c_1^{(p)}(\mathcal{R})$는 $n$ 과 같고, 임의의 그래피팅 $\Phi$에 대해 $l^p$-베티 수 $\underline{\beta}_1^{(p)}(\Phi)$는 $n-1$ 과 같으며, $\Sigma$-차원 의미에서 등식이 성립한다.
• $\mathcal{R}$가 초유한(hyperfinite)이고 무한 궤도를 가진다면 $c_1^{(p)}(\mathcal{R}) = 1$ 이며, 이는 $\mathbb{Z}$-작용의 경우와 일치한다.
• 임의의 소픽 근사 $\Sigma$에 대해, 임의의 그래피팅 $\Phi$에 대해 부등식 $c_1^{(p)}(\mathcal{R}) \leq \beta_1^{(p)}(\Phi) + 1$ 이 성립하며, 이는 코homological 상한을 제공한다.
• 임의의 $\mathbb{F}_n$의 그래피팅 $\Phi$에 대해 $l^p$-베티 수 $\underline{\beta}_1^{(p)}(\Phi)$는 최소 $n-1$ 이며, $\Phi$가 트리잉일 경우 정확히 $n-1$ 과 같다.