[논문 리뷰] An unconditionnally stable pressure correction scheme for compressible barotropic Navier-Stokes equations

Thierry Gallouët, Laura Gastaldo외 2명|2007. 10. 16.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 17인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 압력 보정 방법을 사용하여 압축성 바로트ropic 라우-스 방정식에 대해 조건부 안정성 없이 안정적인 해법을 제시한다. 이 방법은 분할 시간 이산화와 비일치하는 혼합 유한요소 및 유한체적 방법을 결합하여, 이산 에너지 및 최대원리 기반 추정치가 연속 문제의 사전 추정치와 일치하도록 보장한다. 이는 광범위한 이산 안정성 증명을 통해 광범위한 안정성을 달성한다. 특히 이동 운동량 연산자와 압력 일의 이산화에 대해 새로운 이론적 증명을 제공한다.

ABSTRACT

We present in this paper a pressure correction scheme for barotropic compressible Navier-Stokes equations, which enjoys an unconditional stability property, in the sense that the energy and maximum-principle-based a priori estimates of the continuous problem also hold for the discrete solution. The stability proof is based on two independent results for general finite volume discretizations, both interesting for their own sake: the $L^2$-stability of the discrete advection operator provided it is consistent, in some sense, with the mass balance and the estimate of the pressure work by means of the time derivative of the elastic potential. The proposed scheme is built in order to match these theoretical results, and combines a fractional-step time discretization of pressure-correction type to a space discretization associating low order non-conforming mixed finite elements and finite volumes. Numerical tests with an exact smooth solution show the convergence of the scheme.

연구 동기 및 목표

• 시간 스텝 크기와 무관하게 안정적인 비반복적 압력 보정 방법을 개발하여 압축성 바로트ropic 라우-스 방정식을 안정적으로 해석한다.
• 이산 해가 연속 문제와 동일한 사전 추정치를 만족하도록 보장한다. 특히 밀도의 양수성, 제한된 운동 에너지 및 내부 에너지, 점성 소산 에너지를 포함한다.
• 압축성 및 비압축성 상이한 상이한 흐름을 동시에 포함하는 유동, 특히 기포 흐름을 포함한 원자력 안전 응용 분야에서 정확한 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 특히 탄성 잠재에너지 및 이동 운동량 연산자에 대해 연속 에너지 항등식의 이산 형태를 통해 안정성의 이론적 기초를 확립한다.
• 압축성 유동 해법에서 조건부 안정성 없이 안정성을 확보하는 첫 번째이자 기초적인 프레임워크를 제공하여 향후 알고리즘 확장의 길을 열어 놓는다.

제안 방법

• 분할 시간 이산화를 적용하여 운동량 방정식과 연속 방정식을 예측 단계와 보정 단계로 분리한다.
• 공간 이산화에서는 속도와 압력에 대해 저차수 비일치하는 혼합 유한요소를 사용하고, 질량 수지 및 유량 재구성에 대해 유한체적 방법을 적용한다.
• 질량 수지와 일관성이 확보된 조건 하에서 이동 운동량 연산자가 L² 안정성을 입증하여 운동량 이동의 안정성을 확보한다.
• 이산 탄성 잠재에너지의 시간 도함수를 통해 압력 일의 크기를 제한함으로써 시간 스텝 제약 없이 에너지 안정성을 확보한다.
• 강제항에 대해 특수한 수치 적분 기법을 사용하여 이산 기울기 구조를 유지하고 일관성을 확보한다.
• 해법은 비압축성 극한에서 고전적인 프로젝션 방법으로 축소되며, 이는 안정성과 일관성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축성 바로트ropic 라우-스 방정식에 대해 시간 스텝 크기와 무관하게 안정적인 압력 보정 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 질량 수리와 일관성을 유지하면서 유한체적 맥락에서 이동 운동량 연산자를 어떻게 안정화할 수 있는가?
• RQ3 탄성 잠재에너지의 이산 시간 도함수를 사용하여 압력이 수행하는 일을 제한함으로써 에너지 안정성을 확보할 수 있는가?
• RQ4 이러한 해법이 완전한 이산화 하에서 밀도의 양수성, 제한된 운동 에너지 및 내부 에너지, 점성 소산 에너지를 유지하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 완전히 암시적 해법이나 밀도 예측 단계가 없는 해법으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 이 해법은 조건부 안정성 없이 안정성을 확보한다. 시간 스텝 크기와 무관하게 연속 문제의 모든 사전 추정치, 즉 밀도의 양수성, 제한된 에너지 및 점성 소산 에너지가 이산 해에서도 유지된다.
• 정확한 해가 주어진 스무스한 수치 실험에서 속도 및 압력 오차는 시간에 대해 일차 수렴을 보이며, L² 노름에서 공간에 대해 이차 수렴을 보인다.
• 속도 및 압력 오차는 공간 이산화 수준에서 정지되며, 이는 큰 시간 스텝에서 시간 오차가 지배적임을 시사한다.
• 정지 영역 이하의 시간 스텝에서는 시간에 대해 약 일차 수렴률을 보이며, 이는 해법의 시간 정확도를 확인한다.
• 이산 탄성 잠재에너지 항등식과 이동 운동량 연산자의 안정성은 조건부 안정성을 보장하는 핵심 이론적 도구로 입증되었다.
• 비압축성 극한에서 해법은 안정성을 유지하며 고전적인 프로젝션 방법으로 축소되며, 인프-스프 안정성을 갖는 혼합 유한요소 쌍을 유지한다.