[논문 리뷰] Analysis of a Class of Likelihood Based Continuous Time Stochastic Volatility Models including Ornstein-Uhlenbeck Models in Financial Economics

Lancelot F. James|ArXiv.org|2005. 03. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 포아송 랜덤 측도의 선형 함수로 통합된 변동성( integrated volatility )을 표현하는 방식을 통해 연속시간 스토크라스틱 볼라티리티 모델, 특히 옴스타인-울렌벡 과정을 포함한 모델에 대해 계산 가능한 가능도 기반 프레임워크를 개발한다. 에스처 전환과 웨버-소닌 공식의 특수한 경우를 활용하여 다차원 코사인 푸리에 변환을 통해 명시적인 주변 가능도를 유도함으로써, 시뮬레이션 없이도 전체 베이지안 추론이 가능하고, 레버리지 효과를 가진 모델에 대해서도 정확한 수치 적분이 가능하다.

ABSTRACT

In a series of recent papers Barndorff-Nielsen and Shephard introduce an attractive class of continuous time stochastic volatility models for financial assets where the volatility processes are functions of positive Ornstein-Uhlenbeck(OU) processes. This models are known to be substantially more flexible than Gaussian based models. One current problem of this approach is the unavailability of a tractable exact analysis of likelihood based stochastic volatility models for the returns of log prices of stocks. With this point in mind, the likelihood models of Barndorff-Nielsen and Shephard are viewed as members of a much larger class of models. That is likelihoods based on n conditionally independent Normal random variables whose mean and variance are representable as linear functionals of a common unobserved Poisson random measure. The analysis of these models is facilitated by applying the methods in James (2005, 2002), in particular an Esscher type transform of Poisson random measures; in conjunction with a special case of the Weber-Sonine formula. It is shown that the marginal likelihood may be expressed in terms of a multidimensional Fourier-cosine transform. This yields tractable forms of the likelihood and also allows a full Bayesian posterior analysis of the integrated volatility process. A general formula for the posterior density of the log price given the observed data is derived, which could potentially have applications to option pricing. We extend the models to include leverage effects in section 5. It is shown that inference does not necessarily require simulation of random measures. Rather, classical numerical integration can be used in the most general cases.

연구 동기 및 목표

• 통합된 변동성에 기반한 연속시간 스토크라스틱 볼라티리티 모델에 대한 계산 가능한 가능도 분석의 부족을 해결하기 위해.
• 바른도르프-니엘슨과 셰퍼드의 OU 기반 모델을 포아송 랜덤 측도를 활용한 더 넓은 가능도 기반 모델 클래스로 확장하기 위해.
• 관측되지 않은 랜덤 측도의 시뮬레이션 없이도 통합된 변동성 과정에 대한 전체 베이지안 사후 분석을 가능하게 하기 위해.
• 가격-변동성 동적 관계에서의 레버리지 효과를 포함한 가능도에 대한 명시적 표현을 도출하기 위해.
• 일반적인 경우에도 레비 밀도 지식이 없이도 고전적 수치 적분 기법으로 충분함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 공통된 관측되지 않은 포아송 랜덤 측도의 선형 함수로 통합된 변동성 과정 τ(t)를 표현하기 위해.
• 가능도 계산을 용이하게 하기 위해 포아송 랜덤 측도에 에스처 유형의 전환을 적용하기 위해.
• 베셀 함수와余弦 변환을 포함하는 웨버-소닌 공식의 특수한 경우를 사용하여 주변 가능도를 표현하기 위해.
• 가능도의 코사인 표현을 활용하여 로그 가격의 사후 예측 밀도를 유도하기 위해.
• 레버리지 모델에서 상관된 점프 성분을 다루기 위해 정규 분포 변수의 특성 함수 항등식을 활용하기 위해.
• 복소수 함수 Υₙ 및 Ωₙ를 포함한 ℝⁿ 위의 적분 형태로 가능도를 표현하여 수치적 평가를 가능하게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 가능도 기반 연속시간 스토크라스틱 볼라티리티 모델에 대해 MCMC 시뮬레이션에 의존하지 않고 분석이 가능한가?
• RQ2 통합된 변동성이 포아송 랜덤 측도의 선형 함수일 경우, 주변 가능도에 대한 명시적 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ3 가격과 변동성 점프 간의 레버리지 효과를 계산 가능한 가능도 프레임워크에 어떻게 통합할 수 있는가?
• RQ4 고전적 수치 적분 기법만으로도 통합된 변동성 과정에 대한 베이지안 추론이 가능한가?
• RQ5 레비 밀도의 명시적 지식 없이도, 기저 랜덤 변수의 라플라스 변환(또는 레비 지수)만 안다면 추론이 가능한가?

주요 결과

• 관측된 로그 수익률의 주변 가능도는 다차원 코사인 푸리에 변환으로 표현될 수 있으며, 이는 계산 가능한 형태로 제공된다.
• 관측 데이터를 바탕으로 한 로그 가격의 사후 밀도는 명시적으로 도출되었으며, 이는 옵션 가격 설정 응용에 기여할 수 있다.
• 레버리지 효과를 포함한 모델의 경우, 가능도는 정규 분포 변수의 특성 함수로부터 유도된 복소수 함수를 포함한 적분 형태로 표현된다.
• 일부 하위 클래스에 대한 추론는 유한 개의 독립된 잠재 랜덤 변수만 필요로 하여 계산을 단순화한다.
• 이 프레임워크는 시뮬레이션 없이도 고전적 수치 적분을 통해 정확한 가능도 평가가 가능하다.
• 레비 밀도가 알려져 있지 않더라도, 라플라스 변환(또는 레비 지수)만 안다면 이 방법은 여전히 유효하다.