[논문 리뷰] Analysis vs. synthesis sparsity for $\alpha$-shearlets

Felix Voigtlaender, Anne Pein|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 12.

Mathematical Analysis and Transform Methods인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 생성자 연속성과 샘플링 밀도에 대한 정밀한 조건 하에서 $\alpha$-셰일렛 체계에서 분석적 희소성과 합성적 희소성의 등가성을 확립한다. 이는 셰일렛 연속성 공간 $\mathscr{S}_{\alpha,s}^{p,q}$ 가 둘 다를 동시에 특징지울 수 있음을 증명하며, 캐러토닉 함수에 대해 최적의 $N^{-1}$ 근사율을 가능하게 하며, 계수에 대한 명시적 통제를 통해 오랜 기간 동안의 문헌 격차를 해결한다.

ABSTRACT

There are two notions of sparsity associated to a frame $\\Psi=(\\psi_i)_{i\\in I}$: Analysis sparsity of $f$ means that the analysis coefficients $(\\langle f,\\psi_i\ angle)_i$ are sparse, while synthesis sparsity means that $f=\\sum_i c_i\\psi_i$ with sparse coefficients $(c_i)_i$. Here, sparsity of $c=(c_i)_i$ means $c\\in\\ell^p(I)$ for a given $p<2$. We show that both notions of sparsity coincide if $\\Psi={\ m SH}(\\varphi,\\psi;\\delta)$ is a discrete (cone-adapted) shearlet frame with 'nice' generators $\\varphi,\\psi$ and fine enough sampling density $\\delta>0$. The required 'niceness' is explicitly quantified in terms of Fourier-decay and vanishing moment conditions. Precisely, we show that suitable shearlet systems simultaneously provide Banach frames and atomic decompositions for the shearlet smoothness spaces $\\mathscr{S}_s^{p,q}$ introduced by Labate et al. Hence, membership in $\\mathscr{S}_s^{p,q}$ is simultaneously equivalent to analysis sparsity and to synthesis sparsity w.r.t. the shearlet frame. As an application, we prove that shearlets yield (almost) optimal approximation rates for cartoon-like functions $f$: If $\\epsilon>0$, then $\\Vert f-f_N\\Vert_{L^2}\\lesssim N^{-(1-\\epsilon)}$, where $f_N$ is a linear combination of N shearlets. This might appear to be well-known, but the existing proofs only establish this approximation rate w.r.t. the dual $\ ilde{\\Psi}$ of $\\Psi$, not w.r.t. $\\Psi$ itself. This is not completely satisfying, since the properties of $\ ilde{\\Psi}$ (decay, smoothness, etc.) are largely unknown. We also consider $\\alpha$-shearlet systems. For these, the shearlet smoothness spaces have to be replaced by $\\alpha$-shearlet smoothness spaces. We completely characterize the embeddings between these spaces, allowing us to decide whether sparsity w.r.t. $\\alpha_1$-shearlets implies sparsity w.r.t. $\\alpha_2$-shearlets.

연구 동기 및 목표

• 셰일렛 이론에서 방향성 표현 체계에 대해 분석적 희소성이 합성적 희소성으로 이르는지에 대한 오랜 기간 지속된 모호성을 해결하기 위해.
• 일반적인 $\alpha \in [0,1]$ 에 대해 $\alpha$-셰일렛에 대해 가중 $\ell^p$ 공간의 관점에서 희소성 등가성의 정밀한 특징을 설정하기 위해.
• 생성자에 대한 명시적 감쇠 및 모멘트 조건 하에서 셰일렛 연속성 공간 $\mathscr{S}_{\alpha,s}^{p,q}$ 가 분석적 및 합성적 희소성을 동시에 특징지울 수 있음을 증명하기 위해.
• 캐러토닉 함수에 대해 $N$-항 $L^2$ 근사율 $N^{-1}$ (로그 인자까지) 가 가능함을 보여주어 기존 증명의 격차를 해결하기 위해.
• $\alpha$ 값이 다른 $\alpha$-셰일렛 연속성 공간 간의 통합 관계를 특징지켜, 서로 다른 체계 간의 희소성 전이를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 푸리에 감쇠 및 영점 모멘트 조건을 만족하는 생성자와 함께 콘-적응 셰일렛 프레임를 사용하며, 이는 $L^2$-노름과 가중 $\ell^p$ 공간로 정량화된다.
• 스케일 $j$ 를 표현하는 가중치 $w^s = (2^{js})$ 를 가진 가중 $\ell^p$ 공간 $\ell_{w^s}^p$ 를 도입하여 연속성과 희소성을 동시에 모델링한다.
• Stechkin 추정을 적용하여 $N$-항 근사 오차를 계수 수열 尾의 $\ell^p$-노름으로 bound한다.
• 프레임 연산자 $S^{(\delta)}$ 와 그 역행렬을 이용해 이중 프레임 구조를 구성하여 합성 계수와 분석 계수를 연결한다.
• 프레임 성질 $S^{(\delta)} \circ C^{(\delta)} = \text{id}_{L^2}$ 를 적용하여 계수 수열과 근사 오차의 $L^2$-노름을 연결한다.
• 고주파수 또는 고스케일 영역에서의 계수 감쇠를 제어하기 위해 $\omega_0^{\kappa_0}(\delta B_v^{-T}k)$ 를 포함한 가중 추정을 적용하여 적분 가능성과 합산 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적절한 생성자 조건과 샘플링 밀도 하에서, 셰일렛 프레임에서의 분석적 희소성이 동일한 함수에 대해 합성적 희소성으로 이르는가?
• RQ2 주어진 $\alpha$-셰일렛 프레임에 대해 셰일렛 연속성 공간 $\mathscr{S}_{\alpha,s}^{p,q}$ 가 분석적 및 합성적 희소성을 동시에 특징지울 수 있는가?
• RQ3 $\alpha$ 값이 다른 $\alpha$-셰일렛 연속성 공간 간의 정확한 관계는 무엇이며, 한 체계에서의 희소성이 다른 체계에서의 희소성으로 이르는가?
• RQ4 캐러토닉 함수에 대해 $N$-항 근사율 $N^{-1}$ (로그 인자까지) 이 합성적 희소성에 의해 엄밀히 증명될 수 있는가, 분석적 희소성에만 의존하는 것이 아닌가?
• RQ5 생성자 $\varphi, \psi$ 에 대해 분석적 및 합성적 희소성이 일치하도록 보장하는 명시적 감쇠 및 모멘트 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 충분히 부드러운 생성자와 푸리에 감쇠 및 영점 모멘트 조건을 만족하며, 충분히 작은 샘플링 밀도 $\delta > 0$ 를 갖는 $\alpha$-셰일렛 프레임에서는 분석적 희소성과 합성적 희소성이 일치한다.
• 셰일렛 연속성 공간 $\mathscr{S}_{s+\frac{3}{2}(p^{-1}-2^{-1})}^{p,p}(\mathbb{R}^2)$ 는 분석적 및 합성적 희소성을 동시에 특징지며, 세 조건의 등가성: $f$ 가 이 공간에 속하고, 분석 계수가 $\ell_{w^s}^p$ 에 속하며, 합성 계수가 $\ell_{w^s}^p$ 에 속하는 것을 보여준다.
• 캐러토닉 함수 $f \in \mathcal{E}^2(\mathbb{R}^2)$ 에 대해 $N$-항 근사 오차는 $\|f - f_N\|_{L^2} \lesssim N^{-(1-\varepsilon)}$ 를 만족하며, 임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해 거의 최적이다.
• 이 논문은 이전 연구의 격차를 메우며, 분석적 희소성만으로는 최적의 $N^{-1}$ 근사율을 보장하지 못하지만, 새로운 등가 결과 하에 합성적 희소성은 이를 보장함을 증명한다.
• 저자들은 $\ell_{u^{(1+\alpha)/2}}^\infty(V^{(\alpha)} \times \mathbb{Z}^2)$ 가 $\ell_{u^{(1+\alpha)/2}}^\infty(V^{(\alpha)} \times \mathbb{Z}^2)$ 와 등가임을 증명하여, 스케일과 방향 간의 계수 수열 제어를 가능하게 한다.
• $\alpha$-셰일렛 연속성 공간 $\mathscr{S}_{\alpha,s}^{p,q}$ 간의 통합 관계가 완전히 특징지어져, 서로 다른 $\alpha$-셰일렛 체계 간의 희소성 성질 전이가 가능해진다.