[논문 리뷰] Analytic properties of bivariate representation and conjugacy class zeta functions of finitely generated nilpotent groups

Paula Macedo Lins de Araujo|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 15.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 수체의 정수環 위의 유니포텐트 군 스킴에서 유도된 유한 생성 노일레파트 군에 대한 이변수 표현 및 쌍대류류 zeta 함수의 수렴 도메인과 유리형 계속성의 도메인은 유한한 국소 인자들 외에는 기저 수체에 독립적임을 증명한다. 이 결과는 소수 이상수에서의 국소 zeta 함수를 분석하고, 모든 수체에 대해 유한한 예외 집합을 제외한 나머지에서 균일한 수렴성과 유리형 성질을 증명하는 데 기반한다.

ABSTRACT

Let $\mathbf{G}$ be a unipotent group scheme defined in terms of a nilpotent Lie lattice over the ring $\mathcal{O}$ of integers of a number field. We consider bivariate zeta functions of groups of the form $\mathbf{G}(\mathcal{O})$ encoding, respectively, the numbers of isomorphism classes of irreducible complex representations of finite dimensions and the numbers of conjugacy classes of congruence quotients of the associated groups. We show that the domains of convergence and meromorphic continuation of these zeta functions of groups $\mathbf{G}(\mathcal{O})$ are independent of the number field $\mathcal{O}$ considered, up to finitely many local factors.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 노일레파트 군의 표현 및 쌍대류류 자료를 코딩하는 이변수 zeta 함수의 해석적 성질을 연구하기 위해.
• 이러한 zeta 함수의 수렴 도메인과 유리형 계속성 도메인이 수체의 선택에 따라 달라지는지 여부를 결정하기 위해.
• 이러한 해석적 성질이 유한한 국소 인자들 외에는 수체에 독립적임을 보여주기 위해.
• 다양한 수체의 정수환에 대한 zeta 함수의 수렴성과 유리형 성질에 대한 균일성을 확립하기 위해.
• 소수 이상수에서의 국소 zeta 함수와 그 전역적 곱 구조를 분석하기 위해.

제안 방법

• 합동 몫과 차원/쌍대류류 크기를 이용하여 군 $\mathbf{G}(\mathcal{O})$ 에 대한 이변수 zeta 함수를 정의하기 위해.
• 정수환 $\mathcal{O}$ 의 소수 이상수 $\mathfrak{p}$ 에 대한 오일러 곱으로 전역 zeta 함수를 표현하기 위해.
• 각 소수 이상수 $\mathfrak{p}$ 에 대해 국소 zeta 함수 $\mathcal{Z}^{\ast}_{\mathbf{G}(\mathcal{O}_{\mathfrak{p}})}(s_1,s_2)$ 를 표현 이론적 및 군론적 자료로부터 유도된 수렴 조건을 사용하여 분석하기 위해.
• 전역 zeta 함수의 수렴 도메인과 유리형 계속성 도메인이 $\mathcal{O}$ 에 대해 독립적임을 증명하기 위해.
• 도메인 분해와 교차 분석을 통해 수렴 도메인이 수체에 관계없이 임의의 임계 스트립의 균일한 이웃을 포함함을 보여주기 위해.
• $\mathscr{D}_{\mathscr{R},\delta}$ 도메인의 구조를 활용하여, 유한한 소수 집합을 제외한 나머지에서 균일한 수렴성과 유리형 성질을 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이변수 표현 zeta 함수 $\mathcal{Z}^{\textup{irr}}_{\mathbf{G}(\mathcal{O})}(s_1,s_2)$ 의 수렴 도메인이 수체 $K$ 에 따라 달라지는가?
• RQ2 이변수 쌍대류류 zeta 함수 $\mathcal{Z}^{\textup{cc}}_{\mathbf{G}(\mathcal{O})}(s_1,s_2)$ 의 유리형 계속성이 수체의 정수환 $\mathcal{O}$ 에 따라 달라지는가?
• RQ3 이러한 zeta 함수의 해석적 성질를 유한한 국소 인자들 외에는 모든 수체에 대해 균일하게 만들 수 있는가?
• RQ4 지역 수렴 조건에 따라 전역 zeta 함수의 수렴 도메인의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ5 소수 이상수에서의 국소 zeta 함수는 zeta 함수의 전역 해석적 구조에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 이변수 zeta 함수 $\mathcal{Z}^{\textup{irr}}_{\mathbf{G}(\mathcal{O})}(s_1,s_2)$ 와 $\mathcal{Z}^{\textup{cc}}_{\mathbf{G}(\mathcal{O})}(s_1,s_2)$ 의 수렴 도메인과 유리형 계속성 도메인은 수체 $K$ 에 대해 유한한 국소 인자들 외에는 독립적이다.
• 유한한 소수 이상수 집합 $\mathcal{Q}$ 가 존재하여, 전역 zeta 함수 $\mathcal{Z}^{\ast}_{\mathbf{G}(\mathcal{O})}^{\mathcal{Q}}(s_1,s_2)$ 는 $\mathcal{O}$ 에 관계없이 수렴 도메인과 유리형 계속성 도메인을 갖는다.
• 수렴 도메인 $\mathscr{D}_{\mathscr{R},\delta}$ 는 모든 수체에 대해 균일하며, $\delta > 0$ 이 $\mathcal{O}$ 에 독립적이므로 해석적 균일성이 보장된다.
• 전역 zeta 함수는 $\mathcal{O}$ 에 관계없이 임의의 $\mathscr{M}_{\mathbf{G}}^{\ast}$ 에 대해 유리형이며, 이는 임계 도메인 $\mathscr{D}_{\mathbf{G}}^{\ast}$ 를 엄격히 포함한다.
• 모든 $\mathfrak{p}$ 가 유한한 집합 $\mathcal{Q}$ 를 제외한 나머지에서 국소 zeta 함수 $\mathcal{Z}^{\ast}_{\mathbf{G}(\mathcal{O}_{\mathfrak{p}})}(s_1,s_2)$ 는 균일하게 수렴하고 유리형이다.
• $\prod_{\mathfrak{p} \notin \mathcal{Q}} \mathcal{Z}^{\ast}_{\mathbf{G}(\mathcal{O}_{\mathfrak{p}})}(s_1,s_2)$ 는 수렴하며, $\mathcal{O}$ 에 관계없이 독립적인 도메인으로 유리형 계속이 가능하다.