[논문 리뷰] Analytic Solution of Linear Fractional Differential Equation with Jumarie Derivative in Term of Mittag-Leffler Function

Uttam Ghosh, Srijan Sengupta외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 15.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 주마리에의 도함수를 사용하여 선형 분수계 미분방정식의 해석적 해법을 제시하며, 해를 한 파rameter Mittag-Leffler 함수의 형태로 표현한다. 이 방법은 고전적 미적분학에서 지수함수와의 직접적 유사성을 설정함으로써, 유도된 알고리즘 프레임워크를 통해 이러한 방정식을 체계적으로 해결할 수 있게 한다.

ABSTRACT

There is no unified method to solve the fractional differential equation. The type of derivative here used in this paper is of Jumarie formulation, for the several differential equations studied. Here we develop an algorithm to solve the linear fractional differential equation composed via Jumarie fractional derivative in terms of Mittag-Leffler function; and show its conjugation with ordinary calculus. In these fractional differential equations the one parameter Mittag-Leffler function plays the role similar as exponential function used in ordinary differential equations.

연구 동기 및 목표

• Jumarie의 도함수를 포함한 선형 분수계 미분방정식을 체계적으로 해결하기 위한 방법을 개발하는 것.
• Jumarie의 공식화를 사용한 분수계 미적분학과 고전적 미적분학 사이의 연결 고리를 수립하는 것.
• 한 파rameter Mittag-Leffler 함수가 일반 미분방정식에서 지수함수와 유사하게 자연스러운 해 기저로 기능함을 보여주는 것.
• Mittag-Leffler 함수를 사용하여 이러한 방정식을 해결하기 위한 알고리즘적 접근법을 제공하는 것.

제안 방법

• 논문은 비가속성 함수에 적합하고 일관된 미적분학 프레임워크를 제공하는 Jumarie의 분수도함수 공식을 사용한다.
• 선형 분수계 미분방정식에 대한 해법 알고리즘을 한 파rameter Mittag-Leffler 함수 Eα(z)의 성질에 기반하여 도입한다.
• 해를 닫힌 형태로 유도하기 위해 라플라스 변환 기법을 활용하며, Mittag-Leffler 함수가 기본 해 성분으로 부각된다.
• 분수계수 α가 1에 수렴할 때의 극한에서 고전적 미적분학과의 일관성을 입증함으로써 방법의 타당성을 검증한다.
• Mittag-Leffler 함수에 관한 핵심 항등식을 Jumarie의 도함수 하에서 유도하고 적용하여 해석적 접근 가능성을 확보한다.
• 해결 프레임워크를 특정 선형 분수계 미분방정식에 적용하여 실용적 유용성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Jumarie의 도함수를 포함한 선형 분수계 미분방정식은 특수함수를 사용하여 어떻게 체계적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 Jumarie의 도함수 공식 하에서 Mittag-Leffler 함수는 분수계 미분방정식에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 Mittag-Leffler 함수가 고전적 미분방정식에서 지수함수와 동일한 역할을 하는 정도는 어느 정도인가?
• RQ4 Mittag-Leffler 함수를 사용하여 이러한 방정식을 해결하기 위한 일관된 알고리즘 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ5 Jumarie의 도함수를 기반으로 한 해법은 정수계수 극한에서 고전적 미적분학과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• Jumarie의 도함수를 포함한 선형 분수계 미분방정식에서 한 파rameter Mittag-Leffler 함수 Eα(z)는 일반 미분방정식에서 지수함수와 유사하게 기본 해 기저로 기능한다.
• 제안된 알고리즘은 Mittag-Leffler 함수의 형태로 해를 표현함으로써 선형 분수계 미분방정식의 해석적 해법을 가능하게 한다.
• 분수계수 α가 1에 수렴할 때 고전적 미적분학과의 일관성을 보이며, 극한 경우의 타당성을 확인한다.
• 라플라스 변환 기법을 통해 Jumarie의 도함수 하에서 Mittag-Leffler 함수를 포함하는 닫힌 형태의 해를 성공적으로 도출하였다.
• 이 프레임워크는 선형 분수계 미분방정식의 일정한 클래스를 통합적으로 해결할 수 있도록 하여 해석적 접근 가능성을 향상시켰다.
• 논문은 Mittag-Leffler 함수를 통해 Jumarie의 도함수를 사용한 분수계 미적분학과 고전적 미적분학 사이의 명확한 대응 관계를 수립하였다.