[논문 리뷰] Analytical Methods and Field Theory for Disordered Systems

Thimothée Thiery|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 21.

Random Matrices and Applications참고 문헌 200인용 수 3

한 줄 요약

이 학위논문은 비순서적인 탄성 체계를 연구하기 위해 분석적 장 이론 기법을 개발하며, 비틀림 전이에서의 붕괴 동역학과 지향성 고무줄 모델에서의 정확한 해법에 초점을 맞춘다. 기능적 고체화군(FRG)과 베티 안자츠 기법을 사용하여, 보편적인 스케일링 법칙을 확립하고 KPZ 보편성 클래스에 속하는 새로운 정확히 해석 가능한 모델(로그-감마 및 역-베타 모델 포함)을 규명한다. 이 모델들은 명시적인 정적 측도와 유한 온도에서의 비보편적 행동을 보이며, 특히 베타 모델에서는 유한한 온도에서 비보편적 행동가 존재한다.

ABSTRACT

This thesis presents several aspects of the physics of disordered elastic systems and of the analytical methods used for their study. On one hand we will be interested in universal properties of avalanche processes in the statics and dynamics (at the depinning transition) of elastic interfaces of arbitrary dimension in disordered media at zero temperature. To study these questions we will use the functional renormalization group. After a review of these aspects we will more particularly present the results obtained during the thesis on (i) the spatial structure of avalanches and (ii) the correlations between avalanches. On the other hand we will be interested in static properties of directed polymers in $1+1$ dimension, and in particular in observables related to the KPZ universality class. In this context the study of exactly solvable models has recently led to important progress. After a review of these aspects we will be more particularly interested in exactly solvable models of directed polymer on the square lattice and present the results obtained during the thesis in this direction: (i) classification of Bethe ansatz exactly solvable models of directed polymer at finite temperature on the square lattice; (ii) KPZ universality for the Log-Gamma and Inverse-Beta models; (iii) KPZ universality and non-universality for the Beta model; (iv) stationary measures of the Inverse-Beta model and of related zero temperature models.

연구 동기 및 목표

• 영온도 및 비틀림 전이에서 탄성 인터페이스의 붕괴 과정에 대한 보편적 스케일링 성질을 이해하기 위해.
• 기능적 고체화군(FRG) 기법을 사용하여 비순서적인 탄성 체계에서 붕괴의 공간적 구조와 상관관계를 분석하기 위해.
• 유한 온도에서 정사각형 격자 위의 지향성 고무줄 모델의 정확히 해석 가능한 모델을 분류하기 위해.
• 로그-감마 및 역-베타 고무줄 모델과 같은 특정 모델들에 대한 KPZ 보편성을 확립하기 위해.
• 베타 모델에서 정확한 해석 가능성과 보편성의 상호작용을 조사하여 보편적 및 비보편적 행동을 밝혀내기 위해.

제안 방법

• 영온도에서 비순서적인 탄성 인터페이스의 정적 및 동적 성질을 연구하기 위해 기능적 고체화군(FRG) 기법을 적용하기 위해.
• 비틀림 전이에서의 붕괴 동역학, 특히 상관관계와 공간적 구조를 분석하기 위해 FRG를 활용하기 위해.
• 단거리 탄성과 함께 정사각형 격자 위의 지향성 고무줄 모델의 베티 안자츠 통합 가능 모델을 분류하기 위해.
• 대칭성 기반의 대칭적 통합성과 정적 측도 기법을 사용하여 연속적 지향성 고무줄 모델을 정확히 해결하기 위해.
• 정확한 해석 가능성과 프레드홀름 행렬식 기법을 통해 보편적 스케일링 근사 및 유한 체적 보정을 유도하기 위해.
• 유한 온도 결과를 KPZ 고정점 예측과 비교하여, 베타 모델의 비보편적 행동을 분석하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비순서적인 탄성 인터페이스에서 붕괴의 공간적 구조와 상관관계를 지배하는 보편적 스케일링 법칙은 무엇인가?
• RQ2 기능적 고체화군 기법은 탄성 체계에서의 비틀림 전이와 붕괴 동역학을 어떻게 기술하는가?
• RQ3 정사각형 격자 위의 어떤 지향성 고무줄 모델이 유한 온도에서 베티 안자츠 기법을 통해 정확히 해석 가능한가?
• RQ4 로그-감마 및 역-베타 모델이 스케일링 근사에서 KPZ 보편성을 얼마나 잘 따르는가?
• RQ5 역-베타 모델의 정적 측도의 성격은 무엇이며, 영온도 모델과 KPZ 보편성과의 관계는 어떻게 되는가?

주요 결과

• FRG 접근법은 비틀림 전이에서 탄성 인터페이스의 붕괴 크기와 공간적 상관관계의 보편적 스케일링을 성공적으로 기록하였다.
• 붕괴의 공간적 구조는 자기유사적이며, 이론적 예측과 일치하는 보편적인 프랙탈 차원을 가짐을 발견하였다.
• 로그-감마 및 역-베타 모델은 베티 안자츠 기법을 통해 정확히 해석 가능함이 규명되었으며, 자유 에너지와 상관 함수의 정확한 계산이 가능해졌다.
• 정확한 스케일링 근사가 KPZ 고정점과 일치함으로써, 로그-감마 및 역-베타 모델에 대한 KPZ 보편성 클래스가 확인되었다.
• 베타 모델은 보편적 및 비보편적 행동을 모두 보였다: 자유 에너지 분포의 꼬리 부분은 트레이시-위드먼 GUE 분포와 일치하지만, 체적 보정은 보편성에서 벗어나 있었다.
• 역-베타 모델의 정적 측도가 정확히 유도되었으며, 이는 유한 온도 모델과 영온도 인터페이스 모델 사이의 다리를 놓는 데 기여하였다.