[논문 리뷰] Analytical ramifications of derivatives valuation: Asian options and special functions

Michael Schröder|arXiv (Cornell University)|2002. 02. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아시안 옵션 가격 책정을 위한 새로운 분석적 프레임워크를 개발하며, 그 평가를 특수 함수 이론의 연장선으로 재구성한다. 복소해석적 라플라스 역변환을 사용하여 블랙-쇼스 가격에 대해 단일 적분 표현을 유도함으로써 요르의 삼중 적분을 개선한다. 이는 가격을 잘 알려진 에르미트 함수의 곱으로 표현함으로써, 처음으로 계산적으로 실현 가능한 기준 가격 책정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Averaging problems are ubiquitous in Finance with the valuation of the so-called Asian options on arithmetic averages as their most conspicuous form. There is an abundance of numerical work on them, and their stochastic structure has been extensively studied by Yor and his school. However, the analytical structure of these problems is largely unstudied. Our philosophy now is that such valuation problems should be considered as an extension of the theory of special functions: they lead to new problems about new classes of special functions which should be studied in terms of and using of the methods of special functions and their theory. This is exemplified by deriving integral representations for the Black-Scholes prices based on Yor's Laplace transform ansatz to their valuation. They are obtained by analytic Laplace inversion using complex analytic methods. The analysis ultimately rests on the gamma function which in this sense is found to be at the base of Asian options. The results improve on those of Yor and have served us a as starting point for deriving first time benchmark prices for these options.

연구 동기 및 목표

• 블랙-쇼스 모델에서 아시안 옵션 가격에 대한 명시적 분석 공식을 도출하는 데 오랫동안 지속된 과제를 해결하기 위해.
• 특히 에르미트 함수와 파라볼릭 실린더 함수에 중점을 두어 파생상품 평가를 특수 함수 이론의 연장선으로 재구성하기 위해.
• 요르의 삼중 적분 표현이 계산적으로 비가능한 데서 비롯된 문제를 해결하기 위해 더 효율적인 단일 적분 대체 표현을 도출하기 위해.
• 복소해석학과 해석적 계속성 기법을 사용하여 아시안 옵션 가격 책정에 대한 엄밀한 분석적 기반을 마련하기 위해.
• 분석적 역변환 기법에 기반한 처음으로 계산적으로 실현 가능한 기준 가격 책정 공식을 제공하기 위해.

제안 방법

• 아시안 옵션 평가를 위한 요르의 라플라스 변환 가정을 기초로 삼는다.
• 한켈의 감마 함수 공식에 기반한 복소역함수 공식을 통한 복소해석적 라플라스 역변환을 적용한다.
• 카운터플레멘터리 오차 함수를 일반화하는 음의 차수의 에르미트 함수를 사용한다. 이는 쿠머의 콘플루언트 하이퍼기하함수를 통해 정의된다.
• 레베그의 지배 수렴 정리를 적용하여 복소 매개변수 영역에서의 적분의 해석적 계속성을 정당화한다.
• 큰 인자에서의 에르미트 함수의 점근적 전개를 사용하여 복소 평면에서의 감쇠 및 적분 가능성 조건을 제어한다.
• 적분자의 주도화 및 컴acts 집합에서의 균일한 경계를 통해 도출된 가격 함수의 해석성과 연속성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 블랙-쇼스 아시안 옵션 가격은 요르의 삼중 적분 표현을 개선하는 단일 적분 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ2 특히 라플라스 역변환을 포함한 복소해석적 방법은 어떻게 새로운 닫힌 표현을 파생상품 가격 책정 문제에 적용할 수 있는가?
• RQ3 음의 차수의 에르미트 함수는 아시안 옵션 평가의 분석적 구조에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 해석적 계속성은 확률 금융 모델에서 라플라스 역변환 결과의 정의역을 어느 정도까지 확장할 수 있는가?
• RQ5 유도된 공식을 사용하여 아시안 옵션에 대해 처음으로 기준 가격 책정 공식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 요르의 삼중 적분을 대체하는 새로운 단일 적분 표현을 블랙-쇼스 아시안 옵션 가격에 도출하였으며, 이는 계산 가능성 측면에서 크게 향상되었다.
• 가격 공식은 음의 차수의 잘 알려진 고차 초함수인 두 함수의 곱을 포함하는 적분 형태로 표현된다.
• 이 방법은 복소해석학을 기반으로 한 해석적 라플라스 역변환에 의존하며, 감마 함수는 유도 과정에서 핵심 요소로 작용한다.
• 결과적으로 도출된 함수는 정수 ≤ −4를 제외한 복소 매개변수 ν에 대해 전체 함수이며, 전체 복소평면으로 해석적 계속성을 가질 수 있다.
• 에르미트 함수의 점근적 감쇠율과 지수 인자들을 사용하여 적분자의 주도화를 실시함으로써 수렴성을 확보한다.
• 이 공식은 아시안 옵션 가격 책정에 대해 처음으로 분석적으로 타당하고 계산적으로 실현 가능한 기준 공식을 제공하며, 정밀한 수치적 평가와 이론적 분석을 가능하게 한다.