[논문 리뷰] Anatomy of torsion in the CM case

Abbey Bourdon, Pete L. Clark외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 수체의 차수 $ d $ 에서의 CM 타원곡선에 대한 최대 토르션 부분군 크기 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 에 대한 광범위한 분석적 연구를 제공한다. 최대 토르션 부분군의 하위 순서, 일반 순서, 평균 순서 및 분포를 규명하여, $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 가 $ d \log \log d $ 와 유사하게 성장함을 보이며, 최대 토르션 구조를 달성하는 차수의 양적 비율이 양의 밀도를 가짐을 보였다.

ABSTRACT

Let $T_{\mathrm{CM}}(d)$ denote the maximum size of a torsion subgroup of a CM elliptic curve over a degree $d$ number field. We initiate a systematic study of the asymptotic behavior of $T_{\mathrm{CM}}(d)$ as an "arithmetic function". Whereas a recent result of the last two authors computes the upper order of $T_{\mathrm{CM}}(d)$, here we determine the lower order, the typical order and the average order of $T_{\mathrm{CM}}(d)$ as well as study the number of isomorphism classes of groups $G$ of order $T_{\mathrm{CM}}(d)$ which arise as the torsion subgroup of a CM elliptic curve over a degree $d$ number field. To establish these analytic results we need to extend some prior algebraic results. Especially, if $E_{/F}$ is a CM elliptic curve over a degree $d$ number field, we show that $d$ is divisible by a certain function of $\# E(F)[\mathrm{tors}]$, and we give a complete characterization of all degrees $d$ such that every torsion subgroup of a CM elliptic curve defined over a degree $d$ number field already occurs over $\mathbb{Q}$.

연구 동기 및 목표

• 차수 $ d $ 의 수체에서의 CM 타원곡선에 대한 최대 토르션 부분군 크기 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 의 점근적 행동을 체계적으로 분석하는 것.
• 아래 순서, 일반 순서, 평균 순서를 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 의 산술 함수로서 규명하는 것.
• 모든 CM 타원곡선의 토르션 부분군이 $ \mathbb{Q} $ 에서 이미 발생하는 차수 $ d $ 의 집합을 특성화하는 것. 이를 'Olson 차수'라고 부른다.
• 차수 $ d $ 의 수체에서의 CM 타원곡선의 토르션 부분군으로 나타나는 순환군 $ G $ 의 동형류 수를 연구하는 것.
• 수체의 차수 $ d $ 와 그 위에서 정의된 CM 타원곡선의 토르션 부분군 크기 사이의 대수적 나눗셈 조건을 확장하는 것.

제안 방법

• 나눗셈 조건 설정: $ E $ 가 차수 $ d $ 의 수체 위의 CM 타원곡선이라면, $ d $ 는 $ \#E(F)[\operatorname{tors}] $ 에 대한 함수로 나누어져야 하며, 이는 레이 클래스 체 이론과 CM 이론에서 유도된다.
• 레이 클래스 체 이론과 CM 체의 구조를 이용하여 유리 토르션 점의 가능한 차수를 제한한다.
• 해석적 수론 도구, 특히 헬더 부등식과 약수 함수 $ \tau(n) $ 의 추정치를 활용하여 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 가 큰 차수 $ d $ 의 수를 제한한다.
• 최근 루카, 피차로-마다리아가, 포머런스의 결과를 활용하여, 하위 순서 분석에서 예외적인 케이스를 제어한다. 이 결과는 $ u\ell + v $ 가 큰 소인수 $ p-1 $ 를 가지는 소수 $ \ell $ 의 분포를 다룬다.
• 산술 등차수열에 대한 소수 정리와 조밀도 추론을 사용하여, $ \ell \equiv 1 \pmod{3} $ 인 소수에 대해 $ d = \frac{\ell - 1}{3} $ 이며, 서로 다른 최대 토르션 순서를 갖는 차수의 양적 비율이 양임을 보인다.
• 토르션 부분군의 크기 $ \#E(F)[\operatorname{tors}] $ 의 곱셈적 구조와 토르션 점을 포함하는 최소 차수의 CM 체 이론을 적용하여, $ d \mapsto T_{\mathrm{CM}}(d) $ 가 양의 밀도 집합에서 단사임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수 $ d $ 의 수체에서의 CM 타원곡선에 대한 최대 토르션 크기 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 의 하위 순서는 무엇인가?
• RQ2 최대 토르션 크기 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 의 일반 순서는 무엇이며, 상한 순서와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 모든 $ d $ 에서의 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 의 평균 순서는 무엇이며, 홀수 $ d $ 와 무제한 $ d $ 에서의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ4 모든 CM 타원곡선의 토르션 부분군이 $ \mathbb{Q} $ 에서 이미 발생하는 차수 $ d $ 는 무엇인가? (즉, 'Olson 차수'이다.)
• RQ5 차수 $ d $ 의 수체에서의 CM 타원곡선의 토르션 부분군으로 나타나는 유한 아벨군 $ G $ 의 동형류는 몇 개인가?

주요 결과

• 최대 토르션 크기 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 의 하위 순서는 $ \gg d \log \log d $ 이며, 상한 순서와 상수 인자만 다를 뿐 동일하므로, $ T_{\mathrm{CM}}(d) \asymp d \log \log d $ 는 최적으로 성립함을 보였다.
• 최대 토르션 크기 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 의 일반 순서는 $ \asymp d \log \log d $ 이며, 대부분의 $ d $ 에서 최대 토르션 크기가 $ d \log \log d $ 와 유사하게 성장함을 의미한다.
• 모든 $ d $ 에서의 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 의 평균 순서는 $ \asymp d \log \log d $ 이며, 홀수 $ d $ 에서의 평균 순서 역시 $ \asymp d \log \log d $ 이므로, 평균적으로 일관된 성장 양상을 보임을 나타낸다.
• 모든 CM 토르션 부분군이 $ \mathbb{Q} $ 에서 이미 발생하는 'Olson 차수'의 집합은 양의 점근 밀도를 가진다.
• 모든 $ d \leq x $ 에서 $ T_{\mathrm{CM}}(d) $ 의 서로 다른 값은 $ \gg x / \log x $ 개 이상 존재하며, $ d \mapsto T_{\mathrm{CM}}(d) $ 는 $ d $ 의 양의 밀도 부분집합에서 단사임을 보여, 최대 토르션 부분군이 매우 다양함을 시사한다.