[논문 리뷰] Anderson t-modules with thin t-adic Galois representations

Andreas Maurischat|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 칼리츠 모듈러스의 연장인 균일화 가능한 앤더슨 $t$-모듈러스의 가족을 구성한다. 이들의 $t$-진 갈루아 표현은 모티브 갈루아 군 내에서 조밀하지만 $t$-진으로 열려 있지 않은 이미지를 가지며, 이는 이미지가 '박한'(밀도 $1/(k+1)$) 임을 보여준다. 이러한 결과는 드리프린트 모듈러스에 대한 핑크의 ${\mathfrak{p}}$-진 개방성 결과와 대비되며, 양의 특성수에서의 모티브 갈루아 이미지 행동에 대한 이해를 확장한다.

ABSTRACT

Pink has given a qualitative answer to the Mumford-Tate conjecture for Drinfeld modules in the 90s. He showed that the image of the v-adic Galois representation is v-adically open in the motivic Galois group for any prime v. In contrast to this result, we provide a family of uniformizable Anderson t-modules for which the Galois representations of their t-adic Tate-modules are "far from" having t-adically open image in their motivic Galois groups. Nevertheless, the image is still Zariski-dense in the motivic Galois group which is in accordance to the Mumford-Tate conjecture. For the proof, we explicitly determine the motivic Galois group as well as the Galois representation for these t-modules.

연구 동기 및 목표

• 함수체 설정에서 앤더슨 $t$-모듈러스의 $t$-진 갈루아 표현의 구조를 조사하며, 특히 이미지가 모티브 갈루아 군 내에서 $t$-진으로 열려 있는지 여부를 밝히는 것.
• 핑크의 드리프린트 모듈러스 연구에서 관찰된 바와 같이 갈루아 이미지가 $t$-진으로 열려야 한다는 기대에 대한 반례를 제공하는 것.
• 엄격한 해석적 표준형을 사용하여 칼리츠 모듈러스의 연장인 $t$-모듈러스의 가족에 대해 모티브 갈루아 군과 갈루아 표현을 명시적으로 계산하는 것.
• $t$-진 밀도를 통해 갈루아 이미지의 '박한 정도'를 정량화하며, 조밀성은 유지되나 밀도가 1보다 작을 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 모티브 갈루아 군 $\Gamma_{\rho_kC}$를 ${{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!]$의 원소로 구성된 상삼각행렬의 군으로 명시적으로 계산하며, 단위원과 $k$개의 계수로 매개변수화한다.
• 모티브의 엄격한 해석적 표준형을 사용하여 $t$-진 테이트 모듈러스를 $a \in {{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!]^\times$의 초미분 $\partial_t^{(i)}(a)$와 연결한다.
• $\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$에서 $\operatorname{GL}_{k+1}({{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!])$로의 $t$-진 갈루아 표현 $\varrho_t$를 $a$와 그 초미분을 포함하는 행렬 성분으로 구성하는 것.
• 초미분 이론과 $t$-진 밀도 이론을 적용하여 $t^N$에 모odulo된 이미지의 점점 커지는 크기 $D(N)$을 계산하고, 밀도 공식 $\delta(\varrho_t) = \frac{1}{k+1}$를 도출하는 것.
• 칼리츠 모듈러스의 텐서곱 $C^{\otimes d}$로 밀도 계산을 일반화하여, $d = p^e d'$일 때 $\delta(\varrho_E) = \frac{1}{p^e}$임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 앤더슨 $t$-모듈러스의 $t$-진 갈루아 표현 이미지가 조밀한 경우에도 모티브 갈루아 군 내에서 $t$-진으로 열려 있지 않을 수 있는가?
• RQ2 칼리츠 모듈러스의 연장에 대해 모티브 갈루아 군의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ3 이러한 $t$-모듈러스에 대해 $t$-진 밀도는 어떻게 행동하며, 1보다 작을 수 있는가?
• RQ4 갈루아 이미지가 낮은 $t$-진 밀도를 가지는 '박한' 성질을 갖는 명시적 $t$-모듈러스의 가족이 존재하는가?

주요 결과

• 칼리츠 모듈러스의 $k$-번째 연장의 모티브 갈루아 군 $\Gamma_{\rho_kC}$는 ${{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!]^\times$의 동일한 대각성분과 임의의 하삼각성분을 갖는 상삼각행렬의 군과 동형이다.
• $t$-진 갈루아 표현 $\varrho_t$는 갈루아 원소를 $a$와 그 초미분 $\partial_t^{(i)}(a)$로 구성된 행렬로 보내며, $\operatorname{GL}_{k+1}({{\mathbb{F}}_{\!q}}[\![t]\!])$로의 표현을 이룬다.
• $\varrho_t$의 이미지는 $\Gamma_{\rho_kC}$에 조밀하며, 문드포-테이트 추측과의 일치를 확인하지만, $t$-진으로는 열려 있지 않다.
• $\varrho_t$의 $t$-진 밀도는 $\delta(\varrho_t) = \frac{1}{k+1}$이며, 이는 이미지가 더 낮은 차원의 $t$-진 폐쇄를 지닌다는 의미에서 '박한' 성질을 가짐을 보여준다.
• 텐서곱 $E = C^{\otimes d}$에 대해 $d = p^e d'$일 때 $\delta(\varrho_E) = \frac{1}{p^e}$이며, $e \geq 1$이면 1보다 작아져 이 경우의 비개방성을 확인한다.