[논문 리뷰] Anomalous partially hyperbolic diffeomorphisms I: dynamically coherent examples

Christian Bonatti, Kamlesh Parwani외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 05.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 기본군의 지수적 성장을 보이는 닫힌 3차원 다양체 위에서, 어떤 반복도 항등사상과 유토픽이 아니며, 비전이적이고 동적 공인성 있는 부분하이퍼볼릭 미분구상의 첫 번째 알려진 예를 구성한다. 이 구성은 비전이적 아노소프 흐름의 시간-t 사상과 철저히 선택된 딜란 트위스트를 조합하여 이루어지며, 오랫동안 널리 공인된 추측(이러한 시스템은 반드시 아노소프 흐름이나 왜곡곱과 같은 표준 모델과 리프-동형이어야 한다는 추측)을 반박한다.

ABSTRACT

We build an example of a non-transitive, dynamically coherent partially hyperbolic diffeomorphism $f$ on a closed $3$-manifold with exponential growth in its fundamental group such that $f^n$ is not isotopic to the identity for all $n\ eq 0$. This example contradicts a conjecture in \\cite{HHU}. The main idea is to consider a well-understood time-$t$ map of a non-transitive Anosov flow and then carefully compose with a Dehn twist.

연구 동기 및 목표

• 기본군 성장이 지수적인 닫힌 3차원 다각형 위에서 동적 공인성 있고 비전이적인 부분하이퍼볼릭 미분구상을 구성하는 것.
• 이러한 미분구상이 존재함을 보여주며, 어떤 반복도 항등사상과 유토픽이 아니라는 점을 입증함으로써 널리 공유된 추측을 반박하는 것.
• 모든 동적 공인성 있는 부분하이퍼볼릭 미분구상은 유한 커버와 반복을 통해 세 가지 표준 모델 중 하나인 아노소프 자기동형사상, 왜곡곱, 또는 아노소프 흐름의 시간-1 사상과 리프-동형이어야 한다는 추측에 반례를 제시하는 것.
• 강한 안정 및 불안정 분할이 항상 유지되지만, 중심 리프는 어떤 반복에 대해서도 고정되어 있지 않은 점을 보여주는 것.

제안 방법

• 기본군 성장이 지수적인 비전이적 아노소프 흐름을 가진 닫힌 3차원 다각형에서 시작한다.
• 이 흐름의 시간-t 사상 $X_N$ 을 취하며, 이는 부분하이퍼볼릭이면서 강한 안정 및 불안정 분할을 유지한다.
• 흐름과 수직인 토러스 $T_1$ 에서 딜란 트위스트 $G$ 를 수행하여 $T_1$ 근처의 동역학을 수정한다.
• 시간-t 사상 $X_N$ 과 딜란 트위스트 $G$ 를 복합하여 새로운 미분구상 $f = G \circ X_N$ 을 정의한다.
• 딜란 트위스트가 $T_1$ 근처에 지지되어 있으며, 호몰로지에 비자명하게 작용하고 시스템의 동적 공인성을 유지하도록 보장한다.
• 호몰로지 추론을 통해 모든 $k \neq 0$ 에 대해 $f^k$ 가 $H_1(M, \mathbb{Z})$ 에 비자명하게 작용함을 보여, 항등사상과 유토픽이 아님을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본군 성장이 지수적인 3차원 다각형 위에서 동적 공인성 있고 비전이적인 부분하이퍼볼릭 미분구상이 존재할 수 있는가?
• RQ2 이러한 미분구상이 어떤 반복도 항등사상과 유토픽이 아니게 만들 수 있는가?
• RQ3 아노소프 자기동형사상, 왜곡곱, 또는 아노소프 흐름의 시간-1 사상 중 하나와 리프-동형이 되지 않는 부분하이퍼볼릭 미분구상을 구성할 수 있는가?
• RQ4 강한 중심-안정 및 중심-불안정 분할이 항상 유지되더라도 중심 리프는 반복에 대해 항상 고정되어 있는가?
• RQ5 딜란 트위스트를 사용하여 아노소프 흐름의 시간사상을 수정함으로써 유토픽성의 비자명성을 깨뜨리면서도 동적 공인성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 구성된 미분구상 $f$ 는 닫힌 3차원 다각형 위에서 동적 공인성 있고 비전이적이며, 기본군 성장이 지수적이다.
• 모든 $n \neq 0$ 에 대해 반복 $f^n$ 이 항등사상과 유토픽이 아니며, 첫 번째 호몰로지에 대한 비자명한 작용으로 증명된다.
• 중심-안정 및 중심-불안정 분할은 $f$ 에 대해 불변이지만, 이들의 교차인 중심 리프는 $f$ 의 어떤 반복에도 고정되어 있지 않다.
• 이 예는 모든 동적 공인성 있는 부분하이퍼볼릭 미분구상이 유한 커버와 반복을 통해 세 표준 모델 중 하나와 리프-동형이어야 한다는 추측을 반박한다.
• 이 구성은 강한 분할이 유지되더라도 중심 분할이 반복에 대해 불변이 아니게 될 수 있음을 보여주며, 전역 불변성의 미묘한 실패를 드러낸다.
• 기본군의 지수적 성장은 다각형이 아노소프 미분구상이나 왜곡곱을 수용할 수 없음을 의미하며, 이는 세 표준 모델 중 두 가지를 배제한다.