[논문 리뷰] Applying quantum approximate optimization to the heterogeneous vehicle routing problem

David Fitzek, Toheed Ghandriz외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 13.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 74인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 이종 차량 경로 문제(HVRP)를 해결하기 위해 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)을 적용하며, 이를 양자 시뮬레이션에 적합한 이징 해밀토니안으로 매핑한다. QAOA가 최대 21 큐비트 인스턴스에서 타당한 해를 찾을 수 있음을 입증하였으며, 성능은 고전적 최적화기 선택과 문제 크기에 따라 달라지지만, 노이즈와 소규모 스케일로 인해 현재 결과는 고전적 휴리스틱 기법에 미치지 못한다.

ABSTRACT

Quantum computing offers new heuristics for combinatorial problems. With small- and intermediate-scale quantum devices becoming available, it is possible to implement and test these heuristics on small-size problems. A candidate for such combinatorial problems is the heterogeneous vehicle routing problem (HVRP): the problem of finding the optimal set of routes, given a heterogeneous fleet of vehicles with varying loading capacities, to deliver goods to a given set of customers. In this work, we investigate the potential use of a quantum computer to find approximate solutions to the HVRP using the quantum approximate optimization algorithm (QAOA). For this purpose we formulate a mapping of the HVRP to an Ising Hamiltonian and simulate the algorithm on problem instances of up to 21 qubits. We find that the number of qubits needed for this mapping scales quadratically with the number of customers. We compare the performance of different classical optimizers in the QAOA for varying problem size of the HVRP, finding a trade-off between optimizer performance and runtime.

연구 동기 및 목표

• 근접한 양자 컴퓨터를 이용해 NP-난이도의 이종 차량 경로 문제(HVRP)를 해결할 수 있는지 탐색한다.
• QAOA를 사용하여 HVRP를 양자 계산에 적합한 이징 해밀토니안으로 매핑한다.
• 다양한 HVRP 문제 크기에서 QAOA 프레임워크 내 고전적 최적화기의 성능을 평가한다.
• QAOA의 에너지 구조에서 발생하는 과제, 예를 들어 산산이 흩어진 국소 최소값과 타당한 해 간의 뚜렷한 분리 부족을 규명한다.
• 향후 더 큰 노이즈가 있는 양자 하드웨어에 대한 구현 기반을 마련하고, 개선된 제약 조건 표현 방식 탐색을 위한 기초를 다진다.

제안 방법

• 차량 용량과 경로 타당성에 대한 제약 조건을 포함한 이진 최적화 문제로 HVRP를 수식화한다.
• 고정 비용과 변동 비용(연료, 차체 가격) 기반의 비용 함수를 구성하고, 이를 고전적 이징 해밀토니안으로 인코딩한다.
• 표준 믹서 해밀토니안을 사용하여 QAOA를 적용하고, 변분 매개변수를 고전적 최적화기로 최적화한다.
• 성능 평가를 위해 최대 21 큐비트의 문제 인스턴스에서 알고리즘 시뮬레이션을 수행한다.
• 제약 조건 처리를 비용 함수에 페널티 항을 도입하여 구현하고, 에너지 구조 분석을 통해 최적화 난이도를 평가한다.
• 해결책의 질과 실행 시간 측면에서 고전적 최적화기를 비교하여 성능 격차를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 기반 이징 해밀토니안 수식을 사용하여 QAOA를 이종 차량 경로 문제에 효과적으로 적용할 수 있는가?
• RQ2 다양한 크기의 HVRP 인스턴스에서 고전적 최적화기 선택이 QAOA 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 특히 제약 조건 처리로 인해 발생하는 QAOA 에너지 구조에서의 과제는 무엇인가?
• RQ4 이 QAOA 매핑에서 큐비트 수는 고객 수와 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 제약 조건이 만족되었을 때 QAOA는 서로 다른 비용을 가진 타당한 해를 구분할 수 있는가?

주요 결과

• QAOA 매핑에 필요한 큐비트 수는 HVRP의 고객 수에 대해 제곱법적으로 증가한다.
• 다양한 고전적 최적화기 간에는 해의 질과 실행 시간 사이에 상충 관계가 존재하며, 모든 문제 크기에서 한 가지 최적화기가 다른 것들보다 뛰어나지 못한다.
• HVRP의 QAOA 에너지 구조는 특히 낙서형 용량 제약 조건으로 인해 여러 흩어진 국소 최소값을 포함한다.
• 알고리즘은 서로 다른 비용을 가진 타당한 해를 구분하지 못하며, 이는 이들의 에너지 갭이 작기 때문일 가능성이 높다.
• 노이즈가 없는 시뮬레이터에서 QAOA의 성능은 대규모 HVRP 인스턴스에 대해 최신 고전적 휴리스틱 기법에 비해 경쟁력이 떨어진다.
• 향후 향상은 초모수 최적화, 다른 제약 조건 수식, 또는 더 고급 앤사체(예: 양자 교호 작용 연산자 앤사체)를 사용함으로써 가능할 수 있다.