[논문 리뷰] Approximate amplitude encoding in shallow parameterized quantum circuits and its application to financial market indicator

Kouhei Nakaji, Shumpei Uno외 7명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 24.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최대 평균 차이(MMD)를 기반으로 한 비용 함수를 사용하여 계산 기저 및 하다마드 기저 측정에서의 최대 평균 차이(MMD)를 기반으로 한 비용 함수를 사용하여, 얕은 파arameterized 양자 회로에 실수값의 고전적 데이터—부호를 포함하여—를 근사적으로 로딩하는 변분 양자 알고리즘인 근사 진폭 인코딩(AAE)을 제안한다. 이 방법은 근사적 데이터 로딩을 효율적으로 가능하게 하며, 실제 주가 데이터에서 낮은 근사 오차로 특이값 분해(SVD) 엔트로피를 통해 금융 시장 지표를 성공적으로 계산함으로써 검증되었다.

ABSTRACT

Efficient methods for loading given classical data into quantum circuits are essential for various quantum algorithms. In this paper, we propose an algorithm called Approximate Amplitude Encoding that can effectively load all the components of a given real-valued data vector into the amplitude of quantum state, while the previous proposal can only load the absolute values of those components. The key of our algorithm is to variationally train a shallow parameterized quantum circuit, using the results of two types of measurement; the standard computational-basis measurement plus the measurement in the Hadamard-transformed basis, introduced in order to handle the sign of the data components. The variational algorithm changes the circuit parameters so as to minimize the sum of two costs corresponding to those two measurement basis, both of which are given by the efficiently-computable maximum mean discrepancy. We also consider the problem of constructing the singular value decomposition entropy via the stock market dataset to give a financial market indicator; a quantum algorithm (the variational singular value decomposition algorithm) is known to produce a solution faster than classical, which yet requires the sign-dependent amplitude encoding. We demonstrate, with an in-depth numerical analysis, that our algorithm realizes loading of time-series of real stock prices on quantum state with small approximation error, and thereby it enables constructing an indicator of the financial market based on the stock prices.

연구 동기 및 목표

• 기존의 진폭 인코딩 방법이 데이터 성분의 절대값만 로딩할 수 있는 한계를 해결하기 위해.
• 근처 양자 하드웨어에 적합한 얕은 파arameterized 양자 회로(PQC)를 통해 실수값의 고전적 데이터를 효율적으로 양자 상태로 로딩하기 위해.
• 이중 기저 측정(계산 기저 및 하다마드 변환된 기저)을 활용하여 근사 오차를 최소화하는 변분 학습 프레임워크를 개발하기 위해.
• 실제 주가 가격 시계열 데이터에서 SVD 엔트로피를 계산하여 금융 시장 지표로 활용하는 데 있어 실용성을 입증하기 위해.
• 실제 금융 데이터셋에 대한 수치 분석을 통해 방법의 효과성을 검증하여 낮은 근사 오차와 정확한 시장 추세 반영을 보여주기 위해.

제안 방법

• 표준 계산 기저 측정과 하다마드 기저 측정에서 유도된 두 개의 MMD 기반 항으로 구성된 비용 함수를 사용한 변분 양자 회로 학습 절차를 제안한다.
• 이중 MMD 비용 함수는 데이터 성분의 크기와 부호를 모두 학습할 수 있도록 하여, 이전 방법들이 부호를 고려하지 않는 한계를 극복한다.
• 목표 상태를 $ e^{i\alpha}|\text{Data}\rangle|y\rangle $ 형태로 인코딩하기 위해 보조 큐비트를 사용하여, 회로가 원하는 진폭 분포를 근사할 수 있도록 한다.
• 기울기 하강법을 통해 최적화되는 훈련 가능한 매개변수 $\bm{\theta}$ 를 가진 얕은 파arameterized 양자 회로(PQC)를 사용하여 병합된 MMD 비용을 최소화한다.
• 기존의 양자 특이값 분해(qSVD) 알고리즘과 AAE를 결합하여 주가 상관계수 행렬의 SVD 엔트로피를 계산함으로써 금융 시장 지표로 활용한다.
• 목표 상태와 생성된 양자 상태 간의 분포 유사도를 효율적으로 측정하기 위해 최대 평균 차이(MMD)를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 얕은 파arameterized 양자 회로가 부호 정보까지 포함한 실수값 고전적 데이터를 낮은 근사 오차로 효과적으로 인코딩할 수 있는가?
• RQ2 제안된 이중 기저 MMD 비용 함수가 부호 무관 방법보다 데이터 성분의 크기와 부호를 더 정확히 학습할 수 있는가?
• RQ3 AAE 방법이 실제 주가 가격 데이터에서 의미 있는 금융 시장 지표인 SVD 엔트로피를 성공적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 실제 금융 시계열 응용에서 AAE의 근사 오차가 데이터 크기와 회로 깊이에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ5 AAE는 근사적이지만 의미 있는 지표를 통해 양자 알고리즘이 글로벌 시장 추세, 예를 들어 금융 위기와 같은 사건을 포착할 수 있는가?

주요 결과

• AAE 알고리즘은 거의 완벽한 데이터 로딩을 달성하여, 실제 주가 데이터에서 SVD 엔트로피를 정확하게 계산할 수 있을 정도로 충분히 낮은 근사 오차를 보였다.
• 수치 결과는 AAE를 통해 계산된 SVD 엔트로피가 금융 위기 기간(2008년 10월~2009년 2월)을 정확히 반영하였으며, 주식 간 상관계수가 강해지면서 엔트로피가 약 ~0.7로 감소한 것으로 나타났다. 이는 역사적 사실과 일치한다.
• 2009년 3월 이후 SVD 엔트로피는 약 ~0.9로 상승하여 시장 정상화와 상관계수 감소를 나타내었으며, 이는 금융 위기 종료 시점과 널리 공인된 견해와 일치한다.
• 이 방법은 실제 주가의 시계열 데이터를 근사 오차가 최소한인 상태로 양자 상태에 성공적으로 인코딩하여, 근처 양자 응용에 대한 실현 가능성을 입증하였다.
• 이중 MMD 비용 함수는 PQC가 진폭의 크기와 부호를 모두 유지하도록 효과적으로 학습시켜, qSVD와 같은 알고리즘에 필수적인 부호 의존적 인코딩을 가능하게 하였다.
• 본 연구는 얕은 회로를 사용한 근사적 데이터 로딩이 조건부 근사 오차가 존재하더라도 실제 문제, 예를 들어 금융 시장 분석과 같은 실세계 문제에서 의미 있는 결과를 도출할 수 있음을 확인하였다.