[논문 리뷰] Approximate Birkhoff-James orthogonality and smoothness in the space of bounded linear operators

‎Arpita Mal, Kallol Paul외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 07.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 19인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간 간 유계 선형 연산자의 근사 Birkhoff-James 수직성과 미끄럼을 특성화하며, 특히 컴 pact 연산자 공간이 M-ideal를 이루는 경우를 중심으로 다룬다. 연산자가 미끄럽다는 조건을 규명하여, 미끄러움이 성립하는 것은 정확히 노름을 도달하는 집합이 대칭이고, 노름 도달 벡터의 이미지가 목표 공간에서 미끄럽고, 연산자가 컴 pact 연산자의 폐포에 속하지 않을 때에만 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

We study approximate Birkhoff-James orthogonality of bounded linear operators defined between normed linear spaces $\mathbb{X}$ and $\mathbb{Y}.$ As an application of the results obtained, we characterize smoothness of a bounded linear operator $T$ under the condition that $\mathbb{K}(\mathbb{X},\mathbb{Y}),$ the space of compact linear operators is an $M-$ideal in $\mathbb{L}(\mathbb{X},\mathbb{Y}),$ the space of bounded linear operators.

연구 동기 및 목표

• 임의의 바나흐 공간 간의 컴 pact 선형 연산자 공간에서 근사 Birkhoff-James 수직성(⊥ǫ_D)을 특성화하는 것.
• K(X,Y)가 L(X,Y)에서 M-ideal를 이룰 경우, 기존의 Birkhoff-James 수직성과 미끄러움 결과를 확장하는 것.
• K(X,Y)가 L(X,Y)에서 M-ideal를 이룬다는 가정 하에, L(X,Y)에 속한 유계 선형 연산자 T에 대한 미끄러움의 필요 및 충분 조건을 제시하는 것.
• M-ideal 조건 하에서 이전의 ℓp 공간에서의 연산자 미끄러움 결과를 임의의 바나흐 공간으로 일반화하는 것.
• T의 노름 도달 집합 MT의 구조와 T와 K(X,Y) 사이의 거리가 T의 미끄러움에 미치는 영향을 조사하는 것.

제안 방법

• 유계 선형 연산자 공간의 이중공간에서 극단적 함수형식을 통한 Birkhoff-James 수직성의 특성화를 제시하고, 이를 매개변수 ǫ ∈ [0,1)를 사용하여 근사 수직성으로 확장한다.
• K(X,Y)의 이중공간에서 극단적 함수형식과 X** 및 Y*의 극단적 함수형식의 기본 텐서 곱 간의 이중성 관계를 적용한다.
• 바나흐 공간에서의 M-ideal 및 L-ideal의 구조를 활용하여 L(X,Y) 및 K(X,Y)의 기하학적 성질을 분석한다.
• K(X,Y)가 L(X,Y)에서 M-ideal이면, L(X,Y)*에서 K(X,Y)의 여집합이 이중공간에서 L-합성분임을 이용한다.
• 노름 도달 함수형식의 유일성과 노름 도달 집합 MT의 구조를 통한 미끄러움의 특성화를 적용한다.
• 노름 도달 벡터에서의 지지 함수형식의 존재와 노름 도달 함수형식의 수열을 활용하여 수직성 및 미끄러움 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 K(X,Y)가 L(X,Y)에서 M-ideal일 때, T ∈ L(X,Y)가 다른 연산자 A와 근사 Birkhoff-James 수직이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 노름 도달 집합 MT의 구조와 T와 K(X,Y) 사이의 거리가 T의 미끄러움에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 K(X,Y)가 M-ideal일 때, X가 반사적이지 않은 공간으로 일반화된 T ∈ L(X,Y)에 대한 미끄러움의 필요 조건을 확장할 수 있는가?
• RQ4 M-ideal 조건 하에서 T의 미끄러움과 T x0가 목표 공간 Y에서 미끄러운지의 관계는 어떠한가?
• RQ5 MT = {±x0}이고 T x0가 Y에서 미끄러운 경우, T의 미끄러움을 위한 조건 dist(T, K(X,Y)) < ||T||가 필수적이고 충분한가?

주요 결과

• 임의의 바나흐 공간 간 컴 pact 연산자에 대해, 컴 pact 연산자 공간의 이중공간에서 극단적 함수형식을 사용하여 근사 Birkhoff-James 수직성(⊥ǫ_D)의 특성화를 확립하였다.
• ||T|| = 1 이고 dist(T, K(X,Y)) < 1 인 T ∈ L(X,Y)에 대해, T ⊥ǫ_B A iff 모든 λ ≥ 0 에 대해 ||Tx1 + λAx1||² ≥ ||T||² - 2ǫ||T||||λA|| 를 만족하는 x1, x2 ∈ MT ∩ Ext(BX) 가 존재하며, 모든 λ ≤ 0 에 대해서도 ||Tx2 + λAx2||² ≥ ||T||² - 2ǫ||T||||λA|| 를 만족한다.
• K(X,Y)가 L(X,Y)에서 M-ideal일 경우, T ∈ L(X,Y)의 미끄러움이 특성화된다: T는 MT = {±x0}, T x0가 Y에서 미끄러운 점이며, dist(T, K(X,Y)) < ||T|| 이면 T는 미끄럽다.
• X가 반사적일 때 K(X,Y)가 L(X,Y)에서 M-ideal이면, T의 미끄러움에 대한 필요 조건인 MT = {±x0}, T x0가 Y에서 미끄러운 점, dist(T, K(X,Y)) < ||T|| 가 충분 조건임을 보였다.
• 논문은 Grz¸a´slewicz와 Younis의 L(ℓp, E)에서의 미끄러움 결과에 대해 Birkhoff-James 수직성의 구조와 M-ideal 성질을 활용한 별개의 증명을 제시한다.
• 논문은 미끄러운 연산자가 반드시 노름을 도달하지는 않으며, M-ideal 조건 하에서 미끄러움이 노름 도달을 의미하지는 않음을 보여주는 반례를 제시한다.