[논문 리뷰] Approximate Undirected Transshipment and Shortest Paths via Gradient Descent.

Ruben Becker, Andreas Karrenbauer외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 18.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 38인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다항식적으로 유계된 정수 가중치를 가진 무방향 그래프에서 $1 + \epsilon$ 근사 해를 갖는 무방향 전송 문제(최소 비용 유량에 등가)를 해결하기 위한 새로운 경사 하강 알고리즘을 제안한다. 각 반복을 가속화하기 위해 희소 스파너를 활용함으로써, RAM, 스트리밍, 분산 모델 모두에서 더 빠른 알고리즘을 달성하며, 복잡한 화살표 집합을 사용할 필요 없이 이를 우회한다.

ABSTRACT

We present a method for solving the transshipment problem - also known as uncapacitated minimum cost flow - up to a multiplicative error of $1 + \epsilon$ in undirected graphs with polynomially bounded integer edge weights using a tailored gradient descent algorithm. An important special case of the transshipment problem is the single-source shortest paths (SSSP) problem. Our gradient descent algorithm takes $O(\epsilon^{-3} \mathrm{polylog} n)$ iterations and in each iteration it needs to solve a variant of the transshipment problem up to a multiplicative error of $\mathrm{polylog} n$. In particular, this allows us to perform a single iteration by computing a solution on a sparse spanner of logarithmic stretch. As a consequence, we improve prior work by obtaining the following results: (1) RAM model: $(1+\epsilon)$-approximate transshipment in $ ilde{O}(\epsilon^{-3}(m + n^{1 + o(1)}))$ computational steps (leveraging a recent $O(m^{1+o(1)})$-step $O(1)$-approximation due to Sherman [2016]). (2) Multipass Streaming model: $(1 + \epsilon)$-approximate transshipment and SSSP using $ ilde{O}(n) $ space and $ ilde{O}(\epsilon^{-O(1)})$ passes. (3) Broadcast Congested Clique model: $(1 + \epsilon)$-approximate transshipment and SSSP using $ ilde{O}(\epsilon^{-O(1)})$ rounds. (4) Broadcast Congest model: $(1 + \epsilon)$-approximate SSSP using $ ilde{O}(\epsilon^{-O(1)}(\sqrt{n} + D))$ rounds, where $ D $ is the (hop) diameter of the network. The previous fastest algorithms for the last three models above leverage sparse hop sets. We bypass the hop set computation; using a spanner is sufficient in our method. The above bounds assume non-negative integer edge weights that are polynomially bounded in $n$; for general non-negative weights, running times scale with the logarithm of the maximum ratio between non-zero weights.

연구 동기 및 목표

• 다항식적으로 유계된 정수 간선 가중치를 가진 그래프에서 근사 무방향 전송을 위한 더 빠른 알고리즘을 설계하기 위해.
• 다양한 계산 모델에서 전송 및 단일 소스 최단 경로(SSSP) 문제에 대해 $(1 + \epsilon)$-근사 해를 달성하기 위해.
• 분산 및 스트리밍 모델에서 희소 화살표 집합에 의존하는 것을 제거하고, 대신 희소 스파너를 사용함으로써 이를 대체하기 위해.
• RAM 모델에서 계산 복잡도를 $\tilde{O}(\epsilon^{-3}(m + n^{1 + o(1)}))$ 단계로 감소시키기 위해.
• 최대 가중치 비율의 로그에 따라 스케일링하여 일반적인 음이 아닌 간선 가중치로의 확장을 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 전송 최적화에 수렴하도록 점진적으로 유량 해를 개선하는 맞춤형 경사 하강 알고리즘을 사용한다.
• 각 반복은 $\mathrm{polylog}\,n$ 이내의 오차로 전송 문제의 변종을 해결하며, 이는 희소 스파너를 통해 효율적으로 계산 가능하다.
• 각 경사 단계를 시뮬레이션하기 위해 로그 스트레치를 가진 희소 스파너를 사용함으로써, 각 반복의 비용을 감소시킨다.
• 수렴 속도는 $O(\epsilon^{-3} \mathrm{polylog}\,n)$ 반복이며, 각 반복은 스파너 기반 근사에 의존한다.
• 최근에 제안된 $O(m^{1+o(1)})$-단계 $O(1)$-근사 전송 해법을 활용해 경사 하강 과정을 부트스트랩한다.
• 일반적인 음이 아닌 가중치의 경우, 실행 시간은 최대 가중치 대비 최소 비영속 가중치 비율의 로그에 비례한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경사 하강을 어떻게 효과적으로 무방향 전송 문제에 적용하여 증명 가능하고 효율적인 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 분산 및 스트리밍 모델에서 전송 및 SSSP 문제에 대해 희소 스파너가 희소 화살표 집합을 대체할 수 있는가?
• RQ3 이 방법을 사용할 때 RAM 모델에서 $(1 + \epsilon)$-근사 해를 달성하는 데 필요한 계산 복잡도는 얼마인가?
• RQ4 방송 혼잡 클러스터 모델과 혼잡 클러스터 모델에서 알고리즘이 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 실행 시간이 크게 증가하지 않도록 일반적인 음이 아닌 간선 가중치를 처리할 수 있는가?

주요 결과

• RAM 모델에서 알고리즘은 $\tilde{O}(\epsilon^{-3}(m + n^{1 + o(1)}))$ 단계 내에 $(1 + \epsilon)$-근사 전송 해를 계산한다.
• 다중패ass 스트리밍 모델에서 $\tilde{O}(n)$ 메모리와 $\tilde{O}(\epsilon^{-O(1)})$ 획수의 패ass를 사용해 $(1 + \epsilon)$-근사 전송 및 SSSP를 달성한다.
• 방송 혼잡 클러스터 모델에서 $\tilde{O}(\epsilon^{-O(1)})$ 라운드 내에 $(1 + \epsilon)$-근사 전송 및 SSSP를 계산한다.
• 방송 혼잡 모델의 경우, $D$가 화살표 직경일 때 $\tilde{O}(\epsilon^{-O(1)}(\sqrt{n} + D))$ 라운드 내에 $(1 + \epsilon)$-근사 SSSP를 계산한다.
• 희소 화살표 집합을 사용하지 않고 희소 스파너를 사용함으로써 구현을 단순화하고 분산 모델에서 오버헤드를 감소시킨다.
• 일반적인 음이 아닌 가중치의 경우, 실행 시간은 $\log(\text{최대 가중치}/\text{최소 가중치})$ 비례하며, 넓은 가중치 가정 하에서도 효율성을 유지한다.