[논문 리뷰] Approximating permanents and hafnians

Alexander Barvinok|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 27.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모든 항목이 고정된 $\delta > 0$ 에 대해 $\delta$ 와 1 사이에 있을 조건 하에, $n\times n$ 실수 행렬의 행렬식 로그를 덧셈 오차 $\epsilon$ 내에서 근사하는 준다항식 시간 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 행렬 원소에 대한 저차수 다항식을 사용한다. 방법은 복소해석학과 영이 없는 영역을 활용하여 해석적 계속과 복소 슬리브를 따라 보간함으로써 다항식 근사를 보장한다.

ABSTRACT

We prove that the logarithm of the permanent of an nxn real matrix A and the logarithm of the hafnian of a 2nx2n real symmetric matrix A can be approximated within an additive error 1 > epsilon > 0 by a polynomial p in the entries of A of degree O(ln n - ln epsilon) provided the entries a_ij of A satisfy delta < a_ij < 1 for an arbitrarily small delta > 0, fixed in advance. Moreover, the polynomial p can be computed in n^{O(ln n - ln epsilon)} time. We also improve bounds for approximating ln per A, ln haf A and logarithms of multi-dimensional permanents for complex matrices and tensors A.

연구 동기 및 목표

• 실수 행렬의 행렬식 로그를 덧셈 오차 $\\epsilon$ 내에서 결정적이고 준다항식 시간 알고리즘으로 근사하는 것.
• 이 근사 프레임워크를 대칭 $2n\times 2n$ 행렬의 하프니안과 복소수 행렬 및 텐서로 확장하는 것.
• 행렬식이나 하프니안의 영이 아님을 보장하는 조건을 설정하여 복소 영이 없는 영역을 통한 해석적 근사 가능성을 확보하는 것.
• 유계 항목을 가진 행렬에 대해 기존의 행렬식 근사 경계를 향상시키는 것.
• 비음수 및 복소수 행렬식과 하프니안을 근사하기 위한 일반적인 방법을 복소해석학과 다항식 보간에 기반하여 제공하는 것.

제안 방법

• 복소해석학을 활용하여 행렬식의 근사 가능성과 그 복소수 영점의 위치를 연결함으로써, 행렬 원소 주변에 영이 없는 영역을 보장한다.
• 실수 구간 $[0,1]$ 을 포함하는 복소수 평면의 '슬리브' $S \subset \mathbb{C}$ 를 구성하여 다항식 $p(z) = \mathrm{per}(J + z(A - J))$ 가 $S$ 에서 영이 아님을 보장함으로써 해석적 계속 가능성을 확보한다.
• 슬리브 $S$ 를 따라 보간 기법을 적용하여 $p(1) = \mathrm{per}(A)$ 를 $p^{(k)}(0)$ 의 도함수를 이용해 근사함. 이 도함수들은 $n^{O(k)}$ 시간 내에 계산 가능하다.
• 행렬 원소가 $\delta \leq a_{ij} \leq 1$ 를 만족하는 모든 행렬에 대해 $|\ln \mathrm{per} A - p(A)| \leq \epsilon$ 를 만족하는 $O(\ln n - \ln \epsilon)$ 차수의 다항식 $p$ 를 정의한다.
• 모든 $i,j$ 에 대해 $|1 - z_{ij}| \leq 0.5$ 라면 $\mathrm{per} Z \neq 0$ 이므로, 해석적 근사를 위한 영이 없는 영역가 보장됨.
• 다차원 행렬식과 하프니안으로의 프레임워크 확장을 위해 생성 다항식의 영이 없는 영역을 분석함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력 항목이 0에서 멀리 떨어져 있는 실수 행렬의 행렬식 로그는 저차수 다항식을 사용해 덧셈 오차 $\epsilon$ 내에서 근사 가능한가?
• RQ2 행렬 항목에 어떤 조건이 성립하면 그 행렬식이 영이 아니며, 복소수 보간을 통한 해석적 근사가 가능해지는가?
• RQ3 행렬식 근사 프레임워크는 대칭 행렬의 하프니안과 복소수 또는 다차원 텐서로 확장 가능한가?
• RQ4 입력 항목이 $\delta \leq a_{ij} \leq 1$ 를 만족할 때, $\ln \mathrm{per} A$ 를 $\epsilon$ 이내로 근사하는 데 필요한 최소 다항식 차수는 얼마인가?
• RQ5 정확한 계산의 지수적 복잡도를 피하는 준다항식 시간 알고리즘이 행렬식 근사를 가능하게 하는가?

주요 결과

• 모든 $\delta > 0$ 에 대해, $n \times n$ 실수 행렬의 항목이 $[\delta, 1]$ 에 속할 경우, $|\ln \mathrm{per} A - p(A)| \leq \epsilon$ 를 만족하는 $O(\ln n - \ln \epsilon)$ 차수의 다항식 $p$ 가 존재한다.
• 다항식 $p$ 는 $n^{O(\ln n - \ln \epsilon)}$ 시간 내에 계산 가능하므로 준다항식 시간 알고리즘이 성립한다.
• 이 방법은 하프니안으로 확장 가능하다: $2n \times 2n$ 대칭 행렬의 $\ln \mathrm{haf} A$ 는 $O(\ln n - \ln \epsilon)$ 차수의 다항식을 사용해 덧셈 오차 $\epsilon$ 내에서 근사 가능하다.
• 복소수 행렬의 경우, 모든 $i,j$ 에 대해 $|1 - z_{ij}| \leq 0.5$ 라면 $\mathrm{per} Z \neq 0$ 이므로, $\ln \mathrm{per} Z$ 의 해석적 근사가 가능하다.
• 이 프레임워크는 다차원 행렬식으로 확장 가능하다: 항목이 $[\delta, 1]$ 에 속하는 텐서의 $d$-차원 행렬식은 다항식 시간 내에 $n^{O(1)}$ 요인 내에서 근사 가능하다.
• 이 접근법은 행렬식 다항식이 영이 아닐 조건을 만족하는 복소 슬리브 $S$ 를 구성함으로써, 보간과 준다항식 시간 내 근사를 가능하게 한다.