[논문 리뷰] Approximating the Permanent via Nonabelian Determinants

Cristopher Moore, Alexander Russell|ArXiv.org|2009. 06. 09.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 7인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 비가환 대수, 특히 d×d 행렬 대수와 군 대수를 사용하여 {0,1} 행렬의 영인수를 다항식적 방법으로 근사하는 대수적 접근을 조사한다. 비대칭화된 행렬식은 (1+O(1/d))^n의 임계 비율을 보이며, 대비로 대칭화된 행렬식 추정기는 Ω(2^n / n^O(d))의 임계 비율을 보여, 이 방법을 사용한 다항식 시간 근사 계획에 상당한 장애가 있음을 시사한다.

ABSTRACT

Celebrated work of Jerrum, Sinclair, and Vigoda has established that the permanent of a {0,1} matrix can be approximated in randomized polynomial time by using a rapidly mixing Markov chain. A separate strand of the literature has pursued the possibility of an alternate, purely algebraic, polynomial-time approximation scheme. These schemes work by replacing each 1 with a random element of an algebra A, and considering the determinant of the resulting matrix. When A is noncommutative, this determinant can be defined in several ways. We show that for estimators based on the conventional determinant, the critical ratio of the second moment to the square of the first--and therefore the number of trials we need to obtain a good estimate of the permanent--is (1 + O(1/d))^n when A is the algebra of d by d matrices. These results can be extended to group algebras, and semi-simple algebras in general. We also study the symmetrized determinant of Barvinok, showing that the resulting estimator has small variance when d is large enough. However, for constant d--the only case in which an efficient algorithm is known--we show that the critical ratio exceeds 2^{n} / n^{O(d)}. Thus our results do not provide a new polynomial-time approximation scheme for the permanent. Indeed, they suggest that the algebraic approach to approximating the permanent faces significant obstacles. We obtain these results using diagrammatic techniques in which we express matrix products as contractions of tensor products. When these matrices are random, in either the Haar measure or the Gaussian measure, we can evaluate the trace of these products in terms of the cycle structure of a suitably random permutation. In the symmetrized case, our estimates are then derived by a connection with the character theory of the symmetric group.

연구 동기 및 목표

• 비아벨 행렬식에 기반한 대수적 추정기를 사용한 영인수에 대한 다항식 시간 근사 계획의 실현 가능성을 평가하기 위해.
• 행렬 원소가 비가환 대수의 랜덤 원소로 대체될 경우, 행렬식 기반 추정기의 분산을 분석하기 위해.
• 임계 비율(두 번째 모멘트를 첫 번째 모멘트의 제곱으로 나눈 값) 측면에서 비대칭화된 행렬식과 대칭화된 행렬식의 성능을 비교하기 위해.
• 특히 대수 차원 d가 작을 경우, 대수적 방법이 영인수의 지수적 이하 또는 다항식 시간 근사를 달성할 수 있는지 여부를 규명하기 위해.
• 군 대수와 준단순 대수가 영인수의 저분산 추정기 구축에 미치는 역할을 조사하기 위해.

제안 방법

• 행렬 곱을 텐서 곱의 수축으로 표현하는 다이어그램 기법을 사용하여, 랜덤 순열의 순환 구조를 통해 추적을 평가한다.
• 비가환 대수 내 랜덤 행렬에 헤어 측도와 가우시안 측도를 적용하여, 순열의 조합적 성질을 이용해 곱의 기대값을 계산한다.
• 대칭화된 행렬식 추정기를 분석하기 위해 대칭군의 특성 이론을 활용하며, 특히 d가 클 경우의 경우를 중심으로 다룬다.
• 두 가지 유형의 추정기를 정의한다: 기존의 행렬식(비대칭화)과 바르비노크의 대칭화된 행렬식으로, 모두 랜덤 행렬 대입을 통해 영인수를 추정하는 데 사용된다.
• 추적과 노름 기반 모멘트 분석을 통해 두 추정기의 임계 비율 E[X²]/E[X]²을 계산하고, 다이어그램 재배선을 통해 프로베니우스 노름 추정기와 추적의 제곱 추정기 간의 관계를 규명한다.
• 텐서 수축 다이어그램의 고리 구조를 분석하여 임계 비율의 경계를 유도하며, 각 이동에서 고리 수가 최대 한 개 이내로 변화함을 보여, 이는 경계 분석에 기여한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 대수 위에서 행렬식을 사용하여 {0,1} 행렬의 영인수를 다항식 시간 내에 근사할 수 있는가?
• RQ2 특히 d=O(1)와 증가하는 d의 경우에 비해, 행렬식 기반 추정기의 임계 비율이 대수 차원 d에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 바르비노크가 제안한 대칭화된 행렬식 추정기는 영인수에 대한 다항식 시간 근사 계획을 제공하는가?
• RQ4 행렬 원소가 d×d 행렬 대수나 군 대수에서 추출될 경우, 대수적 추정기의 분산 행동은 어떠한가?
• RQ5 다이어그램 기법과 군론적 기법을 사용하여 고차 모멘트를 유계화하고, 행렬식 기반 추정기의 측도 집중을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• d×d 행렬 대수 위에서 비대칭화된 행렬식 추정기의 경우, 임계 비율은 (1+O(1/d))^n이며, d가 증가함에 따라 지수적 이하가 된다.
• d=O(1)인 경우 대칭화된 행렬식 추정기의 임계 비율은 Ω(2^n / n^O(d))이며, 이는 추정기가 효율적으로 계산될 수 있음에도 불구하고 지수적 분산을 보임을 시사한다.
• d가 일정할 경우 대칭화된 추정기의 임계 비율은 2^n / n^O(d)를 초과하며, 이는 이러한 추정기가 다항식 시간 근사 계획에 적합하지 않음을 시사한다.
• 프로베니우스 노름 추정기 X_Frob의 모멘트는 추적의 제곱 추정기의 모멘트와 최대 d^2 배 이내로 유계화되어 있으며, 이는 악조건 하에서도 유사한 분산 스케일링을 의미한다.
• 다이어그램 재배선 기법을 통해 추적의 제곱에서 프로베니우스 노름 추정기로의 전환은 각 이동에서 고리 수를 최대 한 개 이내로 변화시키며, 이는 모멘트 경계에서 d^2 요소의 정당화를 제공한다.
• 결과적으로 영인수 근사에 대한 대수적 접근법은 근본적인 장애에 직면해 있으며, 특히 d가 일정할 경우 더욱 그러하며, 더 나은 집중을 위해 고차원 대수가 필요하다.