[논문 리뷰] Approximation of Reeb spaces with Mappers and Applications to Stochastic Filters.

Mathieu Carrière, Bertrand Michel|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 23.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다변량 설정에서 필터 함수가 ℝᵈ로 사상되는 경우에 Reeb 공간을 근사하기 위한 새로운 Mapper 기반 추정기의 도입을 제안한다. 이는 상호배치 거리의 가짜거리 확장에 기반한 수렴성을 확립하고, 통계적 필터 함수 추정에 프레임워크를 적용하여 데이터 분석 맥락에서 이론적이고 수치적으로 타당한 결과를 보여준다.

ABSTRACT

Reeb spaces, as well as their discretized versions called Mappers, are common descriptors used in Topological Data Analysis, with plenty of applications in various fields of science, such as computational biology and data visualization, among others. The stability and quantification of the rate of convergence of the Mapper to the Reeb space has been studied a lot in recent works~\cite{Brown2019, Carriere2018a, Carriere2018, Munch2016}, focusing on the case where a scalar-valued filter is used for the computation of Mapper. On the other hand, much less is known in the multivariate case, where the domain of the filter is in $\mathbb R^d$ instead of $\mathbb R$. The only available result in this setting~\cite{Munch2016} only works for topological spaces and cannot be used as is for finite metric spaces representing data, such as point clouds and distance matrices. In this article, we present an approximation result for the Reeb space in the multivariate case using a Mapper-based estimator, which is a slight modification of the usual Mapper construction. Moreover, our approximation is stated with respect to a pseudometric that is an extension of the usual {\em interleaving distance} between persistence modules~\cite{Chazal2016}. Finally, we apply our results to the case where the filter function used to compute the Mapper is estimated from the data. We provide applications of this setting in statistics and machine learning and probability for different kinds of target filters, as well as numerical experiments that demonstrate the relevance of our approach.

연구 동기 및 목표

• 유한 거리 공간에서 다변량 Reeb 공간 근사에 대한 이론적 수렴 결과가 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 지속성 모듈에 대해 ℝᵈ 상에서의 상호배치 거리 프레임워크를 확장하여 근사 오차를 측정하기 위해.
• 데이터로부터 추정된 필터 함수에 대해 안정적이고 수렴하는 Mapper 기반 추정기를 개발하기 위해.
• 이전 결과가 스칼라 필터 또는 위상공간에 국한된 바 있는 다변량 경우에서 Reeb 공간 근사에 대한 이론적 보장을 제공하기 위해.
• 수치적 검증을 통해 통계, 기계학습, 확률 분야에서의 실용적 관련성을 입증하기 위해.

제안 방법

• ℝᵈ로 사상되는 다변량 필터 함수에 맞게 조정된 수정된 Mapper 구축 방식을 도입한다.
• 표준 상호배치 거리의 다변량 설정으로 일반화된 Reeb 공간 상의 가짜거리 정의를 제시한다.
• ℝᵈ 상의 지속성 모듈을 사용하여 위상적 특징을 표현하고, 확장된 가짜거리로 근사 오차를 측정한다.
• 필터 함수가 데이터로부터 추정되는 경우, 예를 들어 점 구름 또는 거리 행렬의 경우에 추정기를 적용한다.
• 진짜 Reeb 공간과 Mapper 근사 간의 가짜거리 거리와 표본 조밀도 및 필터 추정 오차를 연결하여 수렴 속도를 확립한다.
• 수치 실험을 통해 합성 및 실세계 데이터에서 이론적 결과의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 필터 함수가 스칼라 값이 아닌 ℝᵈ로 사상되는 다변량인 경우, Reeb 공간은 어떻게 일관적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 표준 상호배치 거리를 다변량 설정으로 확장하여 Reeb 공간 간의 거리를 측정할 수 있는 가짜거리는 무엇인가?
• RQ3 수정된 Mapper 구축 방식은 다변량 필터가 있는 유한 거리 공간에서 Reeb 공간 근사에 대해 이론적 수렴 보장을 제공할 수 있는가?
• RQ4 필터 함수의 추정 오차는 Reeb 공간 근사의 정확성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 통계 및 기계학습 응용 분야에서 실용적 함의와 수치 성능가능성이 있는가?

주요 결과

• 제안된 Mapper 기반 추정기는 다변량 설정에서 상호배치 거리의 가짜거리 확장에 기반한 수렴성을 확보한다.
• 이론적 프레임워크는 점 구름이나 거리 행렬과 같은 유한 거리 공간에 직접 적용 가능하며, 이전 연구가 위상공간에 국한된 한계를 극복한다.
• 근사 오차는 표본 조밀도와 필터 함수의 추정 오차에 의해 정량적으로 경계지며, 이는 수렴 속도를 제공한다.
• 수치 실험을 통해 다양한 데이터 유형과 필터 추정 시나리오에서 방법의 안정성과 정확성이 확인된다.
• 이 방법은 필터 함수가 데이터로부터 추정되는 통계 및 기계학습 분야에서 신뢰할 수 있는 위상적 데이터 분석을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 이론적 엄밀함을 갖추고 고차원 데이터 분석 과제에 대한 Mapper의 적용 범위를 확장한다.