[논문 리뷰] Approximation of SPDE covariance operators by finite elements: A semigroup approach

Mihály Kovács, Annika Lang외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 확률 편미분방정식의 온전한 해의 공분산 연산자를 유한요소 공간 이산화와 유리 함수 시간 근사법을 사용하여, 군 기반 접근법을 개발한다. 이는 추적 클래스 및 힐베르트-슈미트 노름에서 수렴 속도를 확립하며, 자기수반 연산자가 아닐 경우에도 경계가 있는 영역에서 확률적 이동-확산 및 파동 방정식에 대해 최적의 수렴을 보여준다.

ABSTRACT

The problem of approximating the covariance operator of the mild solution to a linear stochastic partial differential equation is considered. An integral equation involving the semigroup of the mild solution is derived and a general error decomposition is proven. This formula is applied to approximations of the covariance operator of a stochastic advection-diffusion equation and a stochastic wave equation, both on bounded domains. The approximations are based on finite element discretizations in space and rational approximations of the exponential function in time. Convergence rates are derived in the trace class and Hilbert--Schmidt norms with numerical simulations illustrating the results.

연구 동기 및 목표

• 선형 SPDE의 온전한 해의 공분산 연산자를 근사하기 위한 일반적 프레임워크를 개발하는 것.
• 기존 수치 방법을 자기수반 연산자로 제한하지 않고, 이동-확산 모델에서와 같이 비대칭 연산자도 다룰 수 있도록 확장하는 것.
• 유한요소 및 유리 함수 시간 이산화에 대해 추적 클래스 및 힐베르트-슈미트 노름에서 수렴 속도를 유도하는 것.
• 확률적 이동-확산 및 파동 방정식에 대한 이론적 결과를 수치 시뮬레이션으로 검증하는 것.
• 군 표현을 통해 타원형 및 쌍곡형 SPDE에 모두 적용 가능한 통합된 접근법을 제공하는 것.

제안 방법

• SPDE의 선형 연산자가 생성하는 군을 사용하여 온전한 해의 공분산에 대한 연산자 값 적분 방정식을 유도한다.
• 추적 클래스 및 힐베르트-슈미트 노름에 대한 공분산 근사의 일반적인 오차 분해 공식을 수립한다.
• 공간 이산화에 유한요소 방법을 적용하고, 시간 이산화에 지수 함수의 유리 근사법을 사용한다.
• 온전한 이토 공식을 사용하여 해 과정과 군을 연결하고, 공분산에 대한 적분 방정식을 유도한다.
• 오차를 군 근사, 공간 유한요소 오차, 시간 이산화 오차로 분리하여 분석한다.
• 생성자 및 공분산 연산자의 분수단위 거듭제곱을 포함한 연산자 노름 추정을 사용하여 수렴 속도를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 기반 접근법이 자기수반 연산자에 국한되지 않고, SPDE 공분산 연산자를 근사하기 위한 통합 프레임워크를 제공할 수 있는가?
• RQ2 SPDE 공분산 연산자의 유한요소 및 유리 함수 시간 근사에 대해 추적 클래스 및 힐베르트-슈미트 노름에서 달성 가능한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 비자기수반 SPDE, 예를 들어 확률적 이동-확산 및 파동 방정식에 대해 이 방법은 수치적으로 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 소음 공분산 커널의 정(regularity)은 근사의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이론적 수렴 속도가 Matérn 및 브라운 운동 브리지 공분산 구조에 대해 수치 실험에서도 관찰될 수 있는가?

주요 결과

• 일차 유한요소와 크랭크-니콜슨 시간 이산화를 사용할 경우, 오차와 h = Δt의 로그-로그 플롯을 통해 추적 클래스 노름에서 약 1차 수렴 속도를 달성한다.
• ν = 0.01인 Matérn 공분산 커널의 경우, 거친 커널임에도 불구하고 이론적 예측과 일치하는 추적 클래스 노름에서 1차 수렴 속도를 보인다.
• 브라운 운동 브리지 공분산 커널의 경우, h = √Δt를 정밀화함으로써 힐베르트-슈미트 노름에서 2차 수렴 속도를 달성하며, 이는 이론적 기대와 일치한다.
• 오차 분해에서는 군 근사, 공간 유한요소 오차, 시간 이산화 오차의 기여를 분리하며, 각각 생성자의 분수단위 거듭제곱을 포함한 연산자 노름 추정을 통해 유계로 제한된다.
• 수치 시뮬레이션은 이론적 수렴 속도가 실질적으로 관찰됨을 확인하며, 기준 해는 h = Δt = 2−9 및 h = √Δt = 2−6에서 계산된다.
• 이 방법은 비자기수반 연산자, 예를 들어 비영인 이동 속도를 가진 확률적 이동-확산 방정식의 연산자도 성공적으로 다룰 수 있으며, 이는 이전의 자기수반 가정을 초월한다.