[논문 리뷰] Approximations of convex bodies by polytopes and by projections of spectrahedra

Alexander Barvinok|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 02.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 볼록체에 대한 두 가지 근사 결과를 제시한다: 첫째, ℝᵈ 내의 임의의 컴acts 집합은 크기가 d^O(1/ε²)인 유한한 집합에 의해 최대 선형 함수 값에서 ε√d의 정확도로 근사 가능하다; 둘째, 정수 점 집합의 볼록 hull은 격자 폭이 유계일 경우 다항수준의 환경 차원을 갖는 스펙트라헤드론(양의 준정부호 원뿔의 절단)의 사영으로 근사 가능하며, 이는 텐서 거듭제곱 기법과 양의 준정부호 랭크 이론을 활용한다.

ABSTRACT

We prove that for any compact set B in R^d and for any epsilon >0 there is a finite subset X of B of |X|=d^{O(1/epsilon^2)} points such that the maximum absolute value of any linear function ell: R^d --> R on X approximates the maximum absolute value of ell on B within a factor of epsilon sqrt{d}. We also discuss approximations of convex bodies by projections of spectrahedra, that is, by projections of sections of the cone of positive semidefinite matrices by affine subspaces.

연구 동기 및 목표

• 유한한 점 집합과 스펙트라헤드론의 사영을 이용한 효율적이고 저복잡도의 볼록체 근사 기법을 개발하기 위해.
• 일반 볼록체 위에서 선형 함수를 최적화하는 데 발생하는 계산적 과제를 해결하기 위해, 이를 다룰 수 있는 볼록 집합으로 대체하기 위해.
• 차원과 근사 오차에 기반한 근사 집합 및 스펙트라헤드론의 크기에 대한 정량적 경계를 설정하기 위해.
• 근사 품질과 양의 준정부호 랭크, 텐서 거듭제곱 구성 간의 관계를 규명하기 위해.
• 스펙트라헤드론의 사영이 일반 볼록체에 대해 유한한 점 집합보다 더 좋은 근사 결과를 낼 수 있는지 탐색하기 위해.

제안 방법

• ℝᵈ의 대칭 텐서 거듭제곱을 사용해 벡터를 양의 준정부호 구조가 나타나는 고차원 공간으로 매립한다.
• max|ℓ(x)|가 B에서의 값과 (d+k−1 choose k)^{1/(2k)} ≈ √(de/k)의 요인 내에서 근사되는 크기가 d^O(k)인 유한한 집합 X ⊂ B를 구성한다.
• 리프팅 기법을 적용: B를 (x,1)을 통한 ℝ^{d+1}로 매립하고, 격자 폭 제약 조건을 활용해 선형 함수의 범위를 유계로 정의한다.
• ℝ^{r×r} 내의 양의 준정부호 행렬의 절단에서 올리는 사영을 통해 애핀 이미지 형태의 스펙트라헤드론을 구성한다. 여기서 r ≤ (k+d+2 choose k).
• 구간 [0,1]에서 √t의 다항식 근사를 통해, 주어진 비음수 행렬을 근사하는 비음수 행렬을 구성하며, 이는 작은 양의 준정부호 랭크를 갖는다.
• 텐서 거듭제곱과 다항식 보간을 통해 구성된 올린 행렬의 랭크에 의해 양의 준정부호 랭크가 유계임을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 ε > 0에 대해, ℝᵈ 내의 컴팩트 볼록체 B에 대해 크기가 d^O(1/ε²)인 유한한 점 집합 X ⊂ B가 존재하여, 모든 선형 함수 ℓ에 대해 max|ℓ(x)|의 근사 오차가 ε√d 이내가 되는가?
• RQ2 모든 선형 함수 ℓ에 대해 max|ℓ(x)|가 B에서의 값과 주어진 요인 내에서 근사되는 크기가 최소인 유한한 집합 X ⊂ B의 크기는 얼마인가?
• RQ3 ℝᵈ 내의 유한한 정수 점 집합 B의 볼록 hull은 격자 폭이 유계일 경우 다항수준의 환경 차원을 갖는 스펙트라헤드론의 사영으로 근사 가능한가?
• RQ4 비음수 행렬의 양의 준정부호 랭크와, 작은 양의 준정부호 랭크를 갖는 행렬에 의한 그 행렬의 근사 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 일반 볼록체에 대해 스펙트라헤드론의 사영이 유한한 점 집합보다 더 좋은 근사 경계를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 ε > 0에 대해, max|ℓ(x)|가 B에서의 값과 ε√d의 요인 내에서 근사되는 크기가 d^O(1/ε²)인 유한한 집합 X ⊂ B가 존재한다.
• 크기가 d^O(k)인 점 집합을 통해 (d+k−1 choose k)^{1/(2k)} ≈ √(de/k)의 근사 요인을 달성하며, 이는 크기와 정확도 사이의 트레이드오프를 보여준다.
• 격자 폭이 k로 유계인 유한한 정수 점 집합 B ⊂ ℤᵈ에 대해, 모든 격자 방향에서 정확히 conv(B)를 근사하는 볼록 집합 C ⊂ ℝᵈ가 존재하며, 스펙트라헤드론의 환경 차원 r = d^O(k)이다.
• 이러한 근사를 위한 스펙트라헤드론의 환경 차원 r는 r ≤ (k+d+2 choose k)를 만족하며, k가 고정되어 있을 경우 d에 대해 다항식 수준이다.
• 입력값이 [0,1]에 속하는 모든 비음수 행렬 A는, 양의 준정부호 랭크가 최대 (rank A)^d(ε)인 비음수 행렬 A′로 ε-근사 가능하며, 여기서 d(ε)는 ε에만 의존한다.
• 이 구성은 rank_psd(A′) ≤ (rank A)^d(ε)를 만족하며, 작은 양의 준정부호 랭크만으로도 좋은 행렬 근사를 달성함을 보여준다.