[논문 리뷰] Exponential Lower Bounds for Polytopes in Combinatorial Optimization

Samuel Fiorini, Serge Massar외 3명|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 03.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 52인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 대칭성 제약 조건이 없더라도 다항 크기의 선형 프로그래밍(LP)이 여행하는 판매원 다각형을 표현할 수 없음을 증명함으로써 오랫동안 미해결된 문제를 해결한다. 한 방향의 양자 통신 프rotocol과 LP의 준선형계획형태로의 재구성 간의 새로운 연결 고리를 통해, 저자들은 TSP, 컷, 안정 집합 다각형의 확장 복잡도에 대해 초다항 하한을 확립한다. 이는 이러한 NP-난이도 문제들에 대한 다항 크기의 LP 표현이 불가능함을 의미한다.

ABSTRACT

We solve a 20-year old problem posed by Yannakakis and prove that there exists no polynomial-size linear program (LP) whose associated polytope projects to the traveling salesman polytope, even if the LP is not required to be symmetric. Moreover, we prove that this holds also for the cut polytope and the stable set polytope. These results were discovered through a new connection that we make between one-way quantum communication protocols and semidefinite programming reformulations of LPs.

연구 동기 및 목표

• 비대칭 다항 크기의 LP가 여행하는 판매원 다각형을 표현할 수 있는가에 대한 Yannakakis의 미해결 문제를 해결하기 위해.
• 핵심 조합 최적화 다각형의 확장 복잡도에 대해 조건 없는 초다항 하한을 확립하기 위해.
• 슬랙 행렬의 비음수 랭크와 양의 정부호(PSD) 랭크가 지수적 갭을 보일 수 있음을 보여주어 LP 및 SDP 재구성에 대한 제한을 시사하기 위해.
• 양자 통신 복잡도와 LP/SDP 확장 복잡도 사이에 새로운 이론적 다리를 구축하기 위해.

제안 방법

• 한 방향의 양자 통신 프rotocol과 선형 프로그래밍의 준선형계획형태로의 재구성 간의 새로운 연결 고리를 도입하기 위해.
• 행렬의 양자 통신 복잡도를 사용하여 그 슬랙 행렬의 비음수 랭크를 하한으로 제시하기 위해.
• 다각형의 확장 복잡도가 그 슬랙 행렬의 비음수 랭크의 로그보다 크거나 같음을 증명하기 위해.
• TSP, 컷, 안정 집합 다각형의 슬랙 행렬의 비음수 랭크가 초다항임을 증명함으로써 지수적 확장 복잡도를 이끌어내기 위해.
• 슬랙 행렬의 랭크에 대한 기존 결과와 비음수 랭크와 PSD 랭크 간의 관계를 활용하여 지수적 갭을 도출하기 위해.
• 초평면 분리 기준과 직사각형 커버링 기법을 적용하여 확장 복잡도에 대한 하한을 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭성 제약 조건이 없더라도 어떤 다항 크기의 선형 프로그래밍도 여행하는 판매원 다각형을 표현할 수 있는가?
• RQ2 커트 다각형과 안정 집합 다각형의 정확한 확장 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 슬랙 행렬의 비음수 랭크와 양의 정부호(PSD) 랭크 사이에 지수적 갭이 존재하는가?
• RQ4 양자 통신 복잡도를 사용하여 조합 최적화 다각형의 확장 복잡도에 대한 하한을 도출할 수 있는가?
• RQ5 커트 다각형에 대해 다항 크기의 준선형계획형태가 존재한다면, 이는 다항 크기의 LP 표현을 의미하는가?

주요 결과

• TSP 다각형의 확장 복잡도는 초다항이므로, 대칭성 제약 조건이 없더라도 다항 크기의 선형 프로그래밍으로는 표현될 수 없다.
• 커트 다각형과 안정 집합 다각형의 확장 복잡도 역시 초다항이므로, 이러한 문제들에 대한 다항 크기의 LP 표현은 불가능하다.
• 일부 슬랙 행렬의 비음수 랭크와 PSD 랭크 사이에 지수적 갭이 존재함을 보여주어, SDP 재구성은 항상 LP를 효율적으로 시뮬레이션할 수 없음을 시사한다.
• 다각형 CUT(n)과 COR(n−1)은 애핀 동형이며, 이 둘 사이에 있는 어떤 다각형도 지수적 확장 복잡도를 가진다.
• 커트 다각형을 포함하고 관련 다면체에 포함되는 스펙트라헤드론이 존재하지만, 이는 어떤 다항 크기의 선형 프로그래밍으로도 잘 근사될 수 없다.
• 이 결과는 TSP, Max Cut, Max Stable Set와 같은 NP-난이도 문제들에 대해 다항 크기의 LP 표현을 통해 P = NP를 증명할 수 없다는 것을 암시한다.