[논문 리뷰] Approximations of Mckean-Vlasov SDEs with Irregular Coefficients

Jianhai Bao, Xing Huang|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 불규칙한 계수를 가진 McKean-Vlasov SDE에 대해 약한 상호작용 입자 시스템을 사용하여 Euler-Maruyama 스킴의 강한 수렴 속도를 확립한다. 힐버트 연속성 미분 계수에 대해 Yamada-Watanabe 근사와 힐버트 연속성 이동 계수에 대해 Zvonkin의 변환을 조합함으로써, 최소한의 정규성 가정 하에 혼합의 전파를 증명하고 수렴 속도를 도출한다.

ABSTRACT

The goal of this paper is to approximate several kinds of {\it Mckean-Vlasov SDEs} with {\it irregular coefficients} via weakly interacting particle systems. More precisely, propagation of chaos and convergence rate of Euler-Maruyama scheme associated with the consequent weakly interacting particle systems are investigated for Mckean-Vlasov SDEs, where (i) the diffusion terms are Hölder continuous by taking advantage of Yamada-Watanabe's approximation approach and (ii) the drifts are Hölder continuous by freezing distributions followed by invoking Zvonkin's transformation trick.

연구 동기 및 목표

• 불규칙한 계수를 가진 McKean-Vlasov SDE의 수치적 근사에 대한 강한 수렴 결과가 부족한 문제를 다룬다.
• 약한 상호작용 입자 시스템의 맥락에서 Euler-Maruyama 스킴의 수렴 속도를 확립한다.
• 기존의 표준 SDE에 대해 개발된 수치 해석 기법을 분포 의존 계수를 가진 평균장 설정으로 확장한다.
• 고급 분석 도구인 Yamada-Watanabe 근사와 Zvonkin의 변환을 통해 불규칙한 이동 및 미분 계수를 처리한다.
• 최소한의 정규성 조건 하에 혼합의 전파를 증명하고 명시적인 수렴 속도를 도출한다.

제안 방법

• McKean-Vlasov SDE에서 힐버트 연속성의 미분 계수를 다루기 위해 Yamada-Watanabe의 근사 접근법을 적용한다.
• SDE를 더 규칙적인 형태로 변환하기 위해 Zvonkin의 변환 기법을 사용하여 힐버트 연속성의 이동 계수를 다룬다.
• McKean-Vlasov SDE의 법칙에 의존하는 역학을 근사하기 위해 약한 상호작용 입자 시스템을 구성한다.
• 입자 시스템에 Euler-Maruyama 스킴을 적용하여 McKean-Vlasov SDE를 수치적으로 시뮬레이션한다.
• BDG 부등식과 헬더 부등식을 활용한 커플링 추론과 모멘트 추정을 통해 수렴성을 확립한다.
• 에러를 입자 시스템과 진짜 해 사이의 오차 통제를 위해 그론발의 부등식을 적용하며, 분포 오차와 경로 기반 오차의 추정치를 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불규칙한 계수를 가진 McKean-Vlasov SDE에 대해 Euler-Maruyama 스킴의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 약한 상호작용 입자 시스템이 불규칙한 이동 및 미분 계수를 가진 McKean-Vlasov SDE를 근사할 때 혼합의 전파를 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 Yamada-Watanabe 근사와 Zvonkin의 변환이 평균장 설정에서 불규칙한 계수를 효과적으로 처리하는 데 통합될 수 있는가?
• RQ4 이산화와 경험 측도 근사가 수치적 스킴의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이동 및 미분 계수의 정규성 가정이 입자 시스템의 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 약한 상호작용 입자 시스템에 적용된 Euler-Maruyama 스킴은 Yamada-Watanabe 근사를 통해 힐버트 연속성의 미분 계수를 가진 McKean-Vlasov SDE에 대해 강한 수렴성을 확보한다.
• 히르베르트 연속성의 이동 계수에 대해 Zvonkin의 변환은 불규칙성에도 불구하고 수렴 속도를 도출할 수 있도록 한다.
• 논문은 입자 수 $ N $ 과 시간 단계 $ au $ 에 따라 의존하는 수렴 속도를 가진 혼합의 전파를 확립하며, $ eta eq 1 $ 일 때 $ au^{rac{eta}{2}} $ 의 명시적 의존성을 보인다.
• 주어진 힐베르트 연속성 가정 하에 입자 시스템이 진짜 McKean-Vlasov 해로의 수렴 속도는 $ au^{rac{eta}{2}} $ 로 정량화되며, $ eta eq 1 $ 이다.
• 입자 시스템과 진짜 해 사이의 오차는 $ Eig[ig( extstylerac{1}{N} extstylerac{1}{N}ig)ig] $ 의 형태를 가지며, $ au $ 와 $ N $ 에 명시적인 의존성을 가진다.
• 분석은 최소한의 정규성 가정 하에 수렴 속도가 유지됨을 확인하며, 주요 오차 항은 그론발의 부등식과 모멘트 추정을 통해 통제됨을 보여준다.