[논문 리뷰] Simulation of McKean Vlasov SDEs with super linear growth

Gonçalo dos Reis, Stefan Engelhardt외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 36인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 초선형 성장하는 드리프트와 랜덤 초기 조건을 가진 McKean-Vlasov SDE를 시뮬레이션하기 위해, 테임드 에일러 방법과 정지 시간 기법을 사용하는 명시적 및 암시적 에일러 스킴을 제안한다. 명시적 스킴은 표준 1/2 수준의 강한 수렴을 확립하고, 경로별 혼돈 전파를 증명하며, 수치 실험을 통해 이론적 수렴률을 확인하고 고입자 수에서 입자 손상 효과를 드러낸다.

ABSTRACT

We present two fully probabilistic Euler schemes, one explicit and one implicit, for the simulation of McKean-Vlasov Stochastic Differential Equations (MV-SDEs) with drifts of super-linear growth and random initial condition. We provide a pathwise propagation of chaos result and show strong convergence for both schemes on the consequent particle system. The explicit scheme attains the standard $1/2$ rate in stepsize. From a technical point of view, we successfully use stopping times to prove the convergence of the implicit method although we avoid them altogether for the explicit one. The combination of particle interactions and random initial condition makes the proofs technically more involved. Numerical tests recover the theoretical convergence rates and illustrate a computational complexity advantage of the explicit over the implicit scheme. A comparative analysis is carried out on a stylized non-Lipschitz MV-SDE and a mean-field model for FitzHugh-Nagumo neurons. We provide numerical tests illustrating "particle corruption" effect where one single particle diverging can "corrupt" the whole particle system. Moreover, the more particles in the system the more likely this divergence is to occur.

연구 동기 및 목표

• 표준 에일러 방법이 실패하는 초선형 성장하는 드리프트를 가진 McKean-Vlasov SDE에 대해 신뢰할 수 있는 수치적 스킴을 개발하기 위해.
• 비리프시츠 계수와 랜덤 초기 조건을 가진 평균장 SDE를 시뮬레이션하는 데 도전하는 것.
• 상호작용 입자 시스템의 맥락에서 명시적 및 암시적 에일러 유사 스킴의 강한 수렴성을 확립하기 위해.
• 강력한 성장 조건 하에서 코ercivity나 소산성 조건을 요구하지 않고도 입자 시스템의 경로별 혼돈 전파를 증명하기 위해.
• 입자 손상 효과를 수치적으로 조사하기 위해, 한 개의 발산 입자가 전체 시스템을 불안정하게 만들 수 있음을 파악하기 위해.

제안 방법

• 초선형 드리프트 성장을 다루기 위해 Hutzenthaler 등(2012)과 Lionnet 등(2018)의 영감을 얻어 테임드 에일러 스킴을 채택한다.
• 암시적 스킴의 수렴성을 증명하기 위해 정지 시간과 국소화 기법을 사용하지만, 명시적 스킴의 경우 단순성을 위해 이를 생략한다.
• 과정의 법을 N개의 상호작용 입자로부터의 경험 측도로 대체하는 입자 시스템 근사법을 적용한다.
• 오차 항을 통제하기 위해 그론발의 부등식과 코시-슈바르츠 부등식을 적용한다.
• 폭발을 방지하기 위해 드리프트 항에 테이밍 메커니즘을 갖춘 수정된 시간 스텝 스킴을 도입한다.
• 순간 수치와 경로 기반 추정치의 조합을 통해 진짜 해와 수치 근사값 간의 차이를 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초선형 드리프트와 랜덤 초기 조건을 가진 McKean-Vlasov SDE에 대해 명시적 및 암시적 에일러 스킴을 어떻게 수정하여 강한 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 코어시비티나 소산성 조건 없이 초선형 성장 조건 하에서 입자 시스템이 경로별 혼돈 전파를 보이는가?
• RQ3 입자 상호작용과 랜덤 초기 데이터 존재 하에서 명시적 스킴의 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ4 입자 손상 효과는 어떻게 나타나며, 시스템의 입자 수에 따라 어떻게 척도가 변하는가?
• RQ5 암시적 스킴은 정지 시간에 의존하지 않고도 안정성과 수렴성을 유지할 수 있으며, 명시적 스킴과 비교해 계산적으로 어떻게 다른가?

주요 결과

• 명시적 에일러 스킴은 초선형 드리프트를 가진 McKean-Vlasov SDE에서 스텝 크기 기준 표준 강한 수렴 속도 1/2를 달성한다.
• 암시적 스킴 역시 강하게 수렴하며, 정지 시간 추론과 순간 추정치를 통해 수렴성이 증명된다.
• 코어시비티나 소산성 조건 없이도 초선형 성장 조건 하에서 입자 시스템의 경로별 혼돈 전파가 확립된다.
• 수치 실험을 통해 비리프시츠 MV-SDE와 피츠휴-나구모 평균장 모델에서 둘 다 이론적 수렴 속도가 확인된다.
• 실제로 명시적 스킴은 암시적 스킴보다 계산 복잡도 측면에서 우월한 성능를 보인다.
• 입자 손상 효과가 관찰된다: 한 개의 발산 입자가 전체 시스템을 불안정하게 만들 수 있으며, 이 위험은 입자 수가 증가함에 따라 증가한다.