[논문 리뷰] APS index theorem for even-dimensional manifolds with non-compact boundary

Maxim Braverman, Pengshuai Shi|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 24.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 27인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비유한 경계를 가진 짝수 차원 다성분에서 Atiyah–Patodi–Singer (APS) 지수 정리를 수립하며, 유한한 집합 외부에서 동일한 강력한 Callias 유형 연산자에 대해 상대 에타 불변량을 도입한다. 주요 기여는 이 상대 에타 불변량의 변화를 스펙트럼 흐름의 합과 전도형식을 포함하는 국소 미분기하학적 항의 합으로 표현하는 공식을 제공함으로써, 비유한 설정에서의 이상 현상에 대한 엄밀한 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study the index of the APS boundary value problem for a strongly Callias-type operator $D$ on a complete even dimensional Riemannian manifold $M$ (the odd dimensional case was considered in our previous paper arXiv:1706.06737). We use this index to define the relative $η$-invariant $η(A_1,A_0)$ of two strongly Callias-type operators, which are equal outside of a compact set. Even though in our situation the $η$-invariants of $A_1$ and $A_0$ are not defined, the relative $η$-invariant behaves as if it were the difference $η(A_1)-η(A_0)$. We also define the spectral flow of a family of such operators and use it compute the variation of the relative $η$-invariant.

연구 동기 및 목표

• 비유한 경계를 가진 짝수 차원 완전한 다성분으로의 APS 지수 정리의 확장을 이루며, Atiyah–Singer 적분량이 비영이면서 핵심적인 역할을 하는 경우를 다룬다.
• 유한한 집합 외부에서 동일한 두 강력한 Callias 유형 연산자에 대해 상대 에타 불변량을 정의하며, 비유한성으로 인해 개별 에타 불변량이 정의되지 않음에도 불구하고 이를 수행한다.
• 연속적인 가중치 가중 연산자 가중치의 가중치에 따라 상대 에타 불변량의 변화와 스펙트럼 흐름 사이의 관계를 규명하여, 비유한 설정에서의 위상수학적 불변량을 제공한다.
• 비유한 시공간에서 양자장 이론의 이상 현상을 기술하기 위한 수학적 프레임워크를 제공한다. 특히, 로렌츠 또는 공간적으로 비유한 기하학적 구조에서의 이상 현상에 초점을 맞춘다.

제안 방법

• 강력한 Callias 유형 연산자에 대해 거의 유한한 본질적 지지 집합의 개념을 도입한다. 여기서 연산자의 제곱은 유한한 집합 외부에서 엄격히 양이며, 연산자는 경계 근처에서 곱 형태를 가진다.
• 전체 연산자의 APS 지수와 그 거의 유한한 본질적 지지 집합으로의 제한의 APS 지수가 동일하다는 것을 증명함으로써, 문제를 유한한 지지 집합 설정으로 축소한다.
• 개별 에타 불변량이 정의되지 않음에도 불구하고, 그들의 차와 유사하게 행동하는 실수로서 상대 에타 불변량을 정의한다.
• 연속적인 가중치 가중 연산자 가중치의 스펙트럼 흐름을 사용하여 상대 에타 불변량의 변화를 계산하며, 전도형식의 적분을 포함하는 공식을 수립한다.
• 전도형식 $\beta_r$을 사용하여 축소된 상대 에타 불변량의 변화에 대한 국소 공식을 유도한다. 이는 유한한 집합 외부에서 0이 되며, $d\beta_r = \frac{d}{dr}\alpha_{\rm AS}(\mathcal{D}^r)$ 를 만족한다.
• 차이 $\eta(\mathcal{A}^1,\mathcal{A}_0) - \eta(\mathcal{A}^0,\mathcal{A}_0)$ 를 $2\operatorname{sf}(\mathbb{A}) + 2\int_{\partial M'} \left(\int_0^1 \beta_r \, dr\right)$ 로 표현하며, 위상수학적 및 기하학적 자료를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Atiyah–Singer 적분량이 비영인 비유한 경계를 가진 짝수 차원 다성분으로의 APS 지수 정리가 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 유한한 집합 외부에서 동일한 두 강력한 Callias 유형 연산자에 대해, 개별 에타 불변량이 정의되지 않음에도 불구하고 상대 에타 불변량을 정의할 수 있는가?
• RQ3 연속적인 가중치 가중 연산자 가중치의 가중치에 따라 상대 에타 불변량의 변화와 스펙트럼 흐름 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 상대 에타 불변량의 변화는 전도형식과 같은 국소 미분기하학적 자료로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 비유한 시공간에서 양자장 이론의 이상 현상을 기술하는 데 어느 정도 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 강력한 Callias 유형 연산자에 대해 비유한 경계를 가진 완전한 짝수 차원 다성분에서의 APS 경계값 문제의 지수는 그 거의 유한한 본질적 지지 집합으로의 제한의 지수와 같다.
• 개별 $\eta$-불변량이 정의되지 않음에도 불구하고, $\eta(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_0)$ 는 잘 정의된 실수이며, $\eta(\mathcal{A}_1) - \eta(\mathcal{A}_0)$ 와 유사하게 행동한다.
• 연속적인 가중치 가중 연산자 가중치 $\mathcal{A}^r$ 에 따라 상대 에타 불변량의 변화는 $\eta(\mathcal{A}^1, \mathcal{A}_0) - \eta(\mathcal{A}^0, \mathcal{A}_0) = 2\operatorname{sf}(\mathbb{A}) + 2\int_{\partial M'} \left(\int_0^1 \beta_r \, dr\right)$ 로 주어지며, 여기서 $\operatorname{sf}(\mathbb{A})$ 는 스펙트럼 흐름이다.
• 상대 에타 불변량의 mod $\mathbb{Z}$ 축약의 도함수는 $\frac{d}{dr}\bar{\eta}(\mathcal{A}^r, \mathcal{A}_0) = -2\int_{M'} \frac{d}{dr}\alpha_{\rm AS}(\mathcal{D}^r)$ 이며, 이는 스토크스 정리에 의해 $2\left(\int_{\{1\}\times N_1} \beta_r - \int_{N_0} \beta_r\right)$ 로 단순화된다.
• 전도형식 $\beta_r$ 는 유한한 지지 집합을 가지며, $d\beta_r = \frac{d}{dr}\alpha_{\rm AS}(\mathcal{D}^r)$ 를 만족함으로써, 변화에 대한 국소 기하학적 표현을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 비유한 다성분에서 양자장 이론의 이상 현상, 특히 카이랄 이상과 Horava–Witten 이상을 연구하는 데 있어 수학적으로 엄밀한 도구를 제공한다.