[논문 리뷰] Arbitrage-Free Pricing of XVA -- Part I: Framework and Explicit Examples

Maxim Bichuch, Agostino Capponi외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 23.

Credit Risk and Financial Regulations참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자금조달 비용, 상대방의 신용 리스크, 담보화를 고려한 비선형 역확률미분방정식(Nonlinear BSDEs)을 사용한 무위험 가격 정책 프레임워크를 개발한다. 구매자 및 판매자의 XVA를 경계로 도출하고, 빚 지급 및 대출 금리가 동일할 경우 명시적인 폐쇄형 XVA 표현식을 제공하여 Piterbarg(2010)의 결과를 조기 도산 리스크를 포함하여 확장한다.

ABSTRACT

We develop a novel framework for computing the total valuation adjustment (XVA) of a European claim accounting for funding costs, counterparty credit risk, and collateralization. Based on no-arbitrage arguments, we derive the nonlinear backward stochastic differential equations (BSDEs) associated with the replicating portfolios of long and short positions in the claim. This leads to the definition of buyer's and seller's XVA which in turn identify a no-arbitrage interval. When borrowing and lending rates coincide we provide a fully explicit expression for the uniquely determined price of XVA, expressed as a percentage of the price of the traded claim, and for the corresponding replication strategies. This extends the result of Piterbarg by incorporating the effect of premature contract termination due to default risk of the trader and of his counterparty.

연구 동기 및 목표

• 자금조달 스프레드, 상대방 신용 리스크, 담보화를 모두 포함한 무위험 가격 정책 프레임워크를 수립하는 것.
• 거래자 또는 상대방의 도산으로 인한 계약의 조기 종료가 파생상품 가격에 미치는 영향을 모델링하는 것.
• 이상적인 금리 비대칭 조건 하에서 유럽형 권리행사에 대한 장·단 포지션의 복제 포트폴리오에 대한 비선형 BSDEs를 유도하는 것.
• 무위험 경계로서 구매자 및 판매자의 XVA를 정의하여 도산 및 자금조달 리스크 하에서도 시장 일관성을 확보하는 것.
• borrowing 및 대출 금리가 동일한 특수 케이스에서 XVA의 완전한 명시적 공식을 제공하는 것.

제안 방법

• 자금조달 비용, 상대방 리스크, 담보화를 반영한 동적 거래 프레임워크를 구성하며, 무도산 주식과 두 개의 위험 자산(거래자 및 상대방)을 포함한다.
• 복제 포트폴리오의 자산 운용 과정을 비선형 BSDEs로 모델링하고, 자금조달, 신용, 담보화 비용을 반영한 드라이버를 사용한다.
• 할인된 자산 운용 과정이 국소 martingale가 되는 전방 측도로의 측도 전환을 도입하여 무위험 가격 정책을 가능하게 한다.
• BSDEs의 비교 정리를 적용하여 무위험 간격이 구매자 및 판매자의 XVA로 정의됨을 증명한다.
• Malliavin 미분과 마코프 표현을 통해 명시적 헤지 전략을 도출하고, Z-과정을 기초 자산 가격의 함수로 표현한다.
• 해결책을 생존 집합 상에서 시간과 주가의 마코프 함수로 감소시켜 헤지 감도의 계산 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자금조달 비용, 상대방 리스크, 담보화가 모두 존재할 때, 어떻게 하면 무위험 가격 정책을 확보할 수 있는가?
• RQ2 이상적인 빚 지급 및 대출 금리가 파생상품 권리행사의 가격 정책 및 헤지에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 거래자 또는 상대방의 조기 도산 리스크는 XVA와 그에 따른 무위험 경계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 유일한 XVA 가격이 존재하는 조건는 무엇이며, 그 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ5 자금조달 및 도산 리스크가 비대칭일 경우, 장·단 포지션의 헤지 전략은 어떻게 다를까?

주요 결과

• 논문은 무위험 없음이 비선형 BSDEs로부터 유도된 구매자 및 판매자의 XVA로 정의된 무위험 간격의 존재를 보장함을 입증한다.
• borrowing 및 대출 금리가 동일할 경우, XVA는 유일하게 결정되며 거래된 권리행사 가격의 백분율로 표현되며, Piterbarg(2010)의 결과를 도산 리스크를 포함하여 확장한다.
• 금리가 동일한 조건 하에서 명시적인 XVA 공식이 폐쇄형으로 도출되며, 이는 권리행사의 수익, 도산 강도, 자금조달 스프레드에 따라 달라진다.
• 금리 비대칭으로 인해 장·단 포지션의 헤지 전략은 대칭적이지 않으며, 해의 과정에 대한 Malliavin 미분을 통해 명시적으로 기술된다.
• 해결 과정은 생존 집합 상에서 마코프적 성질을 가지며, 가치 함수를 시간과 기초 주가의 가측 함수로 표현할 수 있다.
• BSDEs의 비교 정리에 따르면, 더 높은 도산 리스크 또는 자금조달 비용은 더 넓은 무위험 간격을 초래하며, 이는 단일가격 정책에서의 불확실성 증가를 반영한다.