[논문 리뷰] Arbitrage theory without a numéraire

Michael R. Tehranchi|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 수량자 자산의 존재를 가정하지 않고 이산시간 내에서 무위험거래 이론을 수립하며, 마팅게일 변환을 핵심 도구로 사용하여 자산 가격 결정의 기본 정리를 확립한다. 주요 기여는 수량자 없이 무위험거래 조건과 초과복제를 특성화하는 것으로, 가격 버블과 절대적 대비 상대적 무위험거래의 이산시간 버전에 응용된다.

ABSTRACT

This note develops an arbitrage theory for a discrete-time market model without the assumption of the existence of a numéraire asset. Fundamental theorems of asset pricing are stated and proven in this context. The distinction between the notions of investment-consumption arbitrage and pure-investment arbitrage provide a discrete-time analogue of the distinction between the notions of absolute arbitrage and relative arbitrage in the continuous-time theory. Applications to the modelling of bubbles is discussed.

연구 동기 및 목표

• 수량자 자산의 존재를 가정하지 않고 이산시간 시장에서 자산 가격 결정의 기본 정리를 수립하기 위해.
• 수량자에 의존하는 등가 마팅게일 측도 대신 마팅게일 변환을 사용하여 무위험거래 조건을 특성화하기 위해.
• 연속시간에서의 절대적(투자-소비) 대비 상대적(순투자) 무위험거래의 이산시간 버전을 제공하기 위해.
• 연속시간 정의와 일관된 방식으로 이산시간에서 가격 버블의 개념을 체계화하기 위해.
• 수량자가 없더라도 연속적 지급의 최소 초과복제 비용이 마팅게일 변환 하에서의 기대값으로 특성화됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 모든 수량자에 종속되지 않는 최적 투자 문제의 주요 이중 변수로 마팅게일 변환의 개념을 사용한다.
• 비적분 가능하거나 병리적으로 정의된 랜덤 변수를 다루기 위해 일반화된 조건부 기대값과 이산시간 국소 마팅게일 이론을 적용한다.
• Rogers(2002)의 영감을 받은 유틸리티 최적화 프레임워크를 사용하여 볼록 분석이나 분리 정리 없이 자산 가격 결정의 기본 정리를 도출한다.
• Kabanov의 정리를 사용하여 국소 마팅게일 변환이 약한 조건 하에서 진정한 마팅게일 변환의 존재를 암시함을 보인다.
• 스토크라스틱 제어 문제에서 최적화자의 가측성을 보장하기 위해 가측 선택 정리(예: 정리 7.10)를 적용한다.
• 증명에서 랜덤 변수 수열의 수렴을 다루기 위해 가측 버전의 Bolzano–Weierstrass 정리(정리 7.11)를 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자산 가격 결정의 기본 정리를 수량자 존재를 가정하지 않고 재구성할 수 있는가?
• RQ2 이산시간에서 투자-소비와 순투자 무위험거래의 구분은 연속시간에서의 절대적 및 상대적 무위험거래 개념을 어떻게 반영하는가?
• RQ3 수량자가 없을 경우 이산시간 시장에서 가격 버블을 의미 있게 정의할 수 있는가?
• RQ4 수량자가 없을 경우 마팅게일 변환은 무위험거래 조건과 최소 초과복제 비용을 어떻게 특성화하는가?
• RQ5 이산시간에서 국소 마팅게일 변환이 진정한 마팅게일 변환의 존재를 암시하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 마팅게일 변환이 존재하는 것과 이산시간 시장에서의 무위험거래가 없는 것은 동치이며, 이는 수량자 자산의 존재를 가정하지 않더라도 성립한다.
• 연속적 지급의 최소 초과복제 비용은 모든 마팅게일 변환 하에서의 기대 수익의 상한값으로 주어진다.
• 시장이 수량자를 갖지 않을 경우 이산시간에서 가격 버블이 존재할 수 있으며, 이는 연속시간 정의에서의 내재가치에서의 이탈과 유사하다.
• 투자-소비와 순투자 무위험거래의 구분은 연속시간 모델에서의 절대적 및 상대적 무위험거래의 이산시간 대응 버전을 제공한다.
• 시장이 완전하고 무위험거래가 없을 경우, 무위험 수량자 자산이 반드시 존재하며, 이는 새로운 프레임워크 하에서 고전적 결과를 복원한다.
• Kabanov의 정리에 따르면, 주어진 조건 하에서 국소 마팅게일 변환은 진정한 마팅게일 변환으로 변환될 수 있으며, 이는 표준 마팅게일 기법의 사용을 가능하게 한다.