[논문 리뷰] Universal Arbitrage Aggregator in Discrete Time Markets under Uncertainty

Matteo Burzoni, Marco Frittelli외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모델 불확실성 하에서 이산시간 금융시장에 대한 일반적인 아르비트 집약기(아르비트 집약기)를 제안하며, '클래스 S의 아르비트'를 정의하기 위해 민감한 집합의 탄력적인 클래스를 사용한다. 모델 독립적 아르비트(모델 독립적 아르비트, S = {Ω})의 부재는 마링갈 측도의 존재와 동치이며, 개방 아르비트(Open Arbitrage, S = 열린 집합)의 부재는 전체 지지(full-support) 마링갈 측도의 존재와 동치임을 증명한다. 이는 새로운 필터링 확장과 일반적인 집약기 구축을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

In a model independent discrete time financial market, we discuss the richness of the family of martingale measures in relation to different notions of Arbitrage, generated by a class $\mathcal{S}$ of significant sets, which we call Arbitrage de la classe $\mathcal{S}$. The choice of $\mathcal{S}$ reflects into the intrinsic properties of the class of polar sets of martingale measures. In particular: for S=$Ω$ absence of Model Independent Arbitrage is equivalent to the existence of a martingale measure; for $\mathcal{S}$ being the open sets, absence of Open Arbitrage is equivalent to the existence of full support martingale measures. These results are obtained by adopting a technical filtration enlargement and by constructing a universal aggregator of all arbitrage opportunities. We further introduce the notion of market feasibility and provide its characterization via arbitrage conditions. We conclude providing a dual representation of Open Arbitrage in terms of weakly open sets of probability measures, which highlights the robust nature of this concept.

연구 동기 및 목표

• 모델 불확실성 하에서 이산시간 시장의 아르비트를 특성화하기 위한 통합 프레임워크를 개발하며, 기준 확률 측도를 가정하지 않는다.
• 다양한 민감한 집합의 클래스 S가 마링갈 측도의 풍부성과 극점 집합의 구조에 어떤 영향을 미치는지 조사한다.
• 시장의 실현 가능성(market feasibility) 개념을 도입하고, 이를 아르비트 조건을 통해 특성화한다.
• 약한 열린 집합의 확률 측도 집합을 사용하여 개방 아르비트의 이중 표현을 제공하며, 그 강건성(robustness)을 부각한다.
• 다양한 집합 S의 클래스에 걸쳐 모든 아르비트 기회를 포괄하는 일반적인 집약기를 수립함으로써, 무모델 조건 하에서의 아르비트 조건을 통합적으로 다룰 수 있도록 한다.

제안 방법

• 모델 독립적 아르비트(S = {Ω})와 개방 아르비트(S = 열린 집합)를 포함한 아르비트의 다양한 개념을 생성하기 위해 민감한 집합의 클래스 S를 정의한다.
• 필터링 확장을 활용하여 모든 아르비트 기회의 일반 집약기를 구축함으로써, 다양한 전략에 대한 아르비트 분석이 가능하도록 한다.
• 확률 측도 공간에서 σ(𝐏, C_b) 위상(위상)을 사용하여 측도의 약한 수렴성과 지지 성질을 분석한다.
• 약한 위상과 볼록 해석의 결과, 특히 Dirac 측도의 볼록 조합의 조밀성에 기반하여 측도 집합의 닫힘과 조밀성 특성을 기술한다.
• 측도의 지지가 전체 측도를 갖는 모든 닫힌 집합의 교차임을 이용하여, 닫힌 집합 D에 지지를 갖는 측도 집합이 약한 위상에서 닫혀 있음을 증명한다.
• 개방 아르비트와 전략이 상태의 열린 집합에서 양의 수익을 얻는 확률 측도의 약한 열린 집합이 존재함을 증명하는 것 사이의 동치성을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 민감한 집합의 클래스 S 선택이 극점 집합의 구조와 마링갈 측도의 존재성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 모델 독립적 아르비트의 부재와 단일 마링갈 측도의 존재 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 개방 아르비트의 부재가 전체 지지 마링갈 측도의 존재를 유도하는 조건는 무엇인가?
• RQ4 무모델 설정에서 아르비트 기회의 일반 집약기를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 약한 열린 집합의 확률 측도 집합을 사용한 개방 아르비트의 이중 표현은 무엇이며, 이는 어떤 방식으로 강건성을 반영하는가?

주요 결과

• 모델 독립적 아르비트의 부재(S = {Ω})는 가격 과정 S에 대해 최소한 하나의 마링갈 측도가 존재하는 것과 동치이다.
• 개방 아르비트의 부재(S = 열린 집합)는 전체 지지 마링갈 측도가 존재하는 것과 동치이며, 이는 전체 상태 공간 Ω와 동일한 지지를 갖는 마링갈 측도를 의미한다.
• 모든 아르비트 전략을 동시에 분석할 수 있도록, 필터링 확장을 통해 아르비트 기회에 대한 일반 집약기가 구성된다.
• 닫힌 집합 D에 지지를 갖는 확률 측도 집합은 σ(𝐏, C_b) 위상에서 약하게 닫혀 있으며, 이는 이중 표현을 증명하는 데 핵심적인 기술적 결과이다.
• 개방 아르비트의 이중 표현은 강건성을 보여준다: 이는 전략이 상태의 열린 집합에서 양의 수익을 얻는 비어 있지 않은 약한 열린 집합의 측도가 존재함을 의미한다.
• 구성은 만약 전략 H가 개방 아르비트이면, 그 양의 수익 집합 𝒱_H^+가 열린 집합을 포함하고, 그 영집합의 여집합이 조밀하지 않음을 보장한다. 이는 H가 양의 확률로 양의 수익을 얻는 비어 있지 않은 약한 열린 집합의 측도 집합이 존재함을 의미한다.