[논문 리뷰] Are problems in Quantum Information Theory (un)decidable?

Michael M. Wolf, Toby S. Cubitt외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 23.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 42인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 모델 이론적 도구를 사용하여 양자 정보 이론의 기본 문제들에 대한 알고리즘적 결정 가능성을 조사한다. 반대칭 다항식 문제들(예: 얽힘, 정련 가능성, 영오차 용량)은 Tarski–Seidenberg의 존재량자 제거를 통해 결정 가능하다. 반면, 점 渐진적 또는 정수에 대한 존재량자 문제들—예를 들어, 허상 임계값 도달 가능성 또는 은닉 변수 모델 존재 여부—는 Post의 대응 문제나 행렬 사망 문제와 같은 결정 불가능 문제로의 환원으로 인해 일반적으로 결정 불가능하다.

ABSTRACT

This note is intended to foster a discussion about the extent to which typical problems arising in quantum information theory are algorithmically decidable (in principle rather than in practice). Various problems in the context of entanglement theory and quantum channels turn out to be decidable via quantifier elimination as long as they admit a compact formulation without quantification over integers. For many asymptotically defined properties which have to hold for all or for one integer N, however, effective procedures seem to be difficult if not impossible to find. We review some of the main tools for (dis)proving decidability and apply them to problems in quantum information theory. We find that questions like "can we overcome fidelity 1/2 w.r.t. a two-qubit singlet state?" easily become undecidable. A closer look at such questions might rule out some of the "single-letter" formulas sought in quantum information theory.

연구 동기 및 목표

• 양자 정보 이론의 핵심 문제들이 원칙적으로 알고리즘적으로 결정 가능한 정도를 규명하는 것.
• 결정 가능 도구가 존재하더라도 여전히 결정 불가능한 문제들을 특정하는 것.
• 양자 정보 이론에서 '일단성' 공식의 존재에 대해 결정 불가능성의 영향을 탐색하는 것.
• 정수에 대한 존재량자 없이도 압축된 표현을 갖는지 여부에 따라 문제들을 분류하는 것.
• 존재량자 제거와 단어 문제 환원이 결정 가능성 또는 결정 불가능성을 입증하는 데서 수행하는 역할을 조사하는 것.

제안 방법

• 반대칭 다항식 문제에 대해 Tarski–Seidenberg 존재량자 제거를 적용하여 실수 변수에 대한 존재량자 포함 공식을 존재량자 없는 등가로 환원한다.
• 모델 이론 기법을 사용하여 얽힘, $n$-정련 가능성, 은닉 변수 모델, 영오차 용량과 같은 문제들의 결정 가능성을 증명한다.
• 결정 불가능 문제인 Post의 대응 문제(PCP)와 행렬 사망 문제로의 환원을 통해 결정 불가능성을 환원한다. 이는 양자 채널과 상태 겹침을 포함한 구성들을 통해 이루어진다.
• 양자 채널과 상태를 구성하여 순수 상태와의 트레이스 겹침이 행렬 곱의 동역학을 인코딩하도록 하여 단어 문제로의 환원을 가능하게 한다.
• 행렬 곱의 순서를 시뮬레이션하는 매개변수화된 양자 채널 $T_i$의 가족을 활용하며, 허상 결과는 행렬 곱에 따라 달라진다.
• 실수 폐장에 지수 함수와 제한된 해석 함수를 추가한 결과를 활용하여 기본 반대칭 다항식 논리 이외의 영역까지 결정 가능성을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반대칭 다항식 문제들 중에서 실수 폐장 이론의 존재량자 제거를 통해 결정 가능한 문제들은 무엇인가?
• RQ2 점 渐진적 또는 정수 존재량자 문제들이 양자 정보 이론에서 언제 결정 불가능해지는가?
• RQ3 양자 상관관계에 대한 국소 은닉 변수 모델의 존재 여부를 알고리즘적으로 결정할 수 있는가?
• RQ4 주어진 양자 상태가 두 큐비트 스팅렛 상태와의 허상 임계값을 초과할 수 있는지 여부를 결정할 수 있는가?
• RQ5 결정 불가능성 결과들이 양자 용량에 대한 '일단성' 특성화의 존재를 어느 정도 배제하는가?

주요 결과

• 얽힘 탐지, $n$-정련 가능성, 그리고 $d$차원 양자 표현의 존재성과 같은 문제들은 Tarski–Seidenberg 존재량자 제거를 통해 결정 가능하다.
• $n$-샷 영오차 용량과 가산 최소 출력 엔트로피는 반대칭 다항식 형태로 표현될 경우 결정 가능하다.
• 주어진 양자 상태가 두 큐비트 스팅렛 상태와의 허상이 1/2를 초과할 수 있는지 여부는 결정 불가능하다.
• 결정 불가능성은 Post의 대응 문제(PCP)로의 환원에서 기인한다: 특정 채널 가족의 경우, 허상 임계값 도달 가능성을 판단하는 것은 결정 불가능한 단어 문제를 해결하는 것과 동일하다.
• 트레이스 겹침 $\mathrm{tr}[\phi T_{i_1} \cdots T_{i_n}(\rho)]$이 행렬 곱의 동역학을 인코딩하도록 하는 구성이 제공되며, 이는 PCP로의 환원을 가능하게 한다.
• 행렬 사망 문제와 PCP의 결정 불가능성은 임의의 채널 시퀀스가 목표 허상 생성 가능성을 판단할 수 있는 일반 알고리즘이 존재하지 않음을 암시한다.